Найти интервалы монотонности и точки экстремума функций: y=2x3+9x2+12x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения интервалов монотонности и точек экстремума функции y=2x^3+9x^2+12x сначала найдем производную этой функции:

y' = 6x^2 + 18x + 12

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю:

6x^2 + 18x + 12 = 0

Упростим уравнение, поделим на 6:

x^2 + 3x + 2 = 0

Факторизуем уравнение:

(x + 1)(x + 2) = 0

Отсюда получаем две точки экстремума: x=-1 и x=-2

Теперь определим интервалы монотонности. Для этого рассмотрим знак производной на каждом интервале между точками экстремума:

Для x<-2: выберем произвольное значение меньше -2, например -3, подставим в производную:
6(-3)^2 + 18(-3) + 12 = 54 - 54 + 12 = 12 (положительное, функция возрастает)

Для -2<x<-1: выберем произвольное значение между -2 и -1, например -1.5, подставим в производную:
6(-1.5)^2 + 18(-1.5) + 12 = 13.5 - 27 - 12 = -25.5 (отрицательное, функция убывает)

Для x>-1: выберем произвольное значение больше -1, например 0, подставим в производную:
60^2 + 180 + 12 = 12 (положительное, функция возрастает)

Итак, интервалы монотонности:

Таким образом, функция имеет максимум в точке x=-2 и минимум в точке x=-1.