Геометрия
окружность, вписанная в треугольник, касается стороны ac в точке d. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны ac в точке d. Известно, что ad = 2 + ✓3, cd = ✓3. Найдите угол CAB, если он в 2 раза меньше угла acb

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим угол CAB как α, а угол ACB как 2α.

Так как окружность вписана в треугольник, то точка касания (точка D) будет являться точкой пересечения радиуса окружности и стороны треугольника. Для нахождения угла α воспользуемся тем, что длина радиуса, проведенного к точке касания, равна биссектрисе угла в данной точке.

Треугольник ACD является прямоугольным, так как радиус окружности перпендикулярен касательной, проведенной к точке касания. Поэтому, мы можем записать следующее равенство:

AD^2 + CD^2 = AC^2
(2 + √3)^2 + √3^2 = AC^2
(4 + 4√3 + 3) + 3 = AC^2
10 + 4√3 = AC^2

Теперь найдем биссектрису угла в точке D. Обозначим угол в точке D как β. Так как AD является биссектрисой, мы можем записать следующее равенство:

tan(β) = (AC / 2) / AD
tan(β) = (10 + 4√3) / 2(2 + √3)
tan(β) = (10 + 4√3) / 4 + 2√3
tan(β) = (10 + 4√3) / 4(1 + √3)
tan(β) = (10 + 4√3) / 4(√3 + 1)
tan(β) = (10 + 4√3) / 4√3 + 4
tan(β) = ((10 + 4√3) / 4)(√3 - 1) / ((4√3 + 4)(√3 - 1))
tan(β) = (√3 - 1)(10 + 4√3)/ 4(4√3 + 4)

Теперь у нас есть значение тангенса угла в точке D. Найдем сам угол, воспользовавшись тригонометрическим выражением для тангенса разности углов:

tan(α) = tan(2α - β)
(1 - tan(β)) / (tan(2α) + tan(β)) = tan(2α) - tan(β) / (1 + tan(2α)tan(β))

Подставим значения и найдем угол α.