Задача по геометрии, кто сможет ответ найти? На сторонах AB, BC, CD четырёхугольника ABCD выбраны точки K, L и M соответственно. Прямые KL и AC пересекаются в точке P , прямые LM и BD пересекаются в точке Q . Прямые KQ и MP пересекают прямую AD в точках X и Y соответственно. Найдите отношение XY:AD .

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи применим теорему Шевы.

Из условия задачи имеем, что точки K, L и M лежат соответственно на сторонах AB, BC и CD четырехугольника ABCD.

Применим теорему Шевы к треугольнику ADC и прямым, проходящим через точки K, Q и X:

$\frac{KD}{KA} \cdot \frac{MP}{MC} \cdot \frac{QC}{QD} = 1$

Аналогично применим теорему Шевы к треугольнику ABC и прямым, проходящим через точки L, Q и X:

$\frac{LC}{LB} \cdot \frac{QD}{QB} \cdot \frac{KB}{KA} = 1$

Теперь объединим полученные уравнения:

$\frac{KD}{KA} \cdot \frac{MP}{MC} \cdot \frac{QC}{QD} = \frac{LC}{LB} \cdot \frac{QD}{QB} \cdot \frac{KB}{KA}$

$\frac{KQ}{AD} \cdot \frac{MP}{MC} \cdot \frac{QC}{QD} = \frac{LC}{LB} \cdot \frac{QD}{QB} \cdot \frac{KQ}{AD}$

$\frac{MP}{MC} \cdot \frac{QC}{QD} = \frac{LC}{LB} \cdot \frac{QD}{QB}$

$\frac{MP}{MC} \cdot \frac{QC}{QD} = \frac{LC}{LB} \cdot \frac{QD}{QB}$

Из последнего равенства следует, что XY:AD = MP:MC = QC:QD.

Таким образом, отношение XY к AD равно отношению длин отрезков QC к QD.