Решите sin(x) <= sin(2x) <= sin(3x) <= sin(4x) <= sin(5x) на отрезке [0; 2pi] Следствие из 713-й теоремы Алекса Эдвардсона Султанова не предлагать!

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данного неравенства, следует рассмотреть различные интервалы, на которых sin(x) может быть меньше или больше, чем sin(nx) для различных значений n.

Для начала определим промежутки, на которых sin(x) <= sin(2x):

На промежутке [0; pi/2] имеем sin(x) <= sin(2x), так как оба значения неотрицательны и sin(x) возрастает на данном промежутке.На промежутке [pi/2; pi] также sin(x) <= sin(2x), так как sin(x) неотрицателен и убывает, а sin(2x) отрицателен и возрастает.На промежутке [pi; 3pi/2] sin(x) <= sin(2x), так как оба значения отрицательны и sin(x) возрастает.На промежутке [3pi/2; 2pi] также sin(x) <= sin(2x), так как sin(x) отрицателен и убывает, а sin(2x) неотрицателен и возрастает.

Теперь проделаем аналогичные действия для sin(2x) <= sin(3x), sin(3x) <= sin(4x) и sin(4x) <= sin(5x).

После сравнения всех интервалов мы получаем, что неравенство sin(x) <= sin(2x) <= sin(3x) <= sin(4x) <= sin(5x) выполняется на промежутках:

[0; pi/2][pi/2; pi][pi; 3pi/2][3pi/2; 2pi]