Задачка ЕГЭ-шного типа, несложная Назовём натуральное число зелёным, если у него ровно 24 делителя, причём среди этих делителей есть 30 и 130. Найти все зелёные числа и доказать, что других нет.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Заметим, что число 24 имеет вид (2^3\cdot3). Поскольку для нахождения общего количества делителей числа достаточно перемножить на единицу больше степени каждого его простого множителя в разложении, для 24 делителей число должно иметь вид (p^2q^4), где p и q — простые числа.

Так как у числа есть делители 30 и 130, оно должно иметь вид (2^2\cdot3^4). Проверим это:

(2^2\cdot3^4) будет иметь 3 делителя: 2, 3 и 6. Чтобы добавить оставшиеся 21 делитель, мы можем умножить это число на любое из трех простых чисел, кроме 2 и 3. Так как число должно быть минимальным, возьмем наименьшее из них — 5.

Таким образом, единственным зеленым числом является (2^2 \cdot 3^4 \cdot 5 = 540).

Других зеленых чисел не существует.