Точки А, В, С лежат на трех ребрах куба, выходящих из вершины D. Известно, что АD = 1/3, ВD = 4/3 и СD=1. В пирамиду АВСD вписан шар. Выполнить чертеж и обоснованно найти радиус этого шара.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала построим куб ABCDEFGH, со стороной 1.

Так как точки A, B и C лежат на ребрах куба, выходящих из вершины D, то эти точки лежат на прямых, проведенных через вершину D и параллельных ребрам куба.

Пусть точка A лежит на ребре AE, точка B - на ребре BF, точка С - на ребре CG.

Тогда AD = 1/3, BD = 4/3 и CD = 1. Так как А, В, С лежат на прямых, параллельных ребрам куба, значит треугольник ABC - прямоугольный.

Вычислим длину ребра куба через теорему Пифагора:

AC = √(AB^2 + BC^2) = √((4/3)^2 + 1^2) = √(16/9 + 1) = √(25/9) = 5/3.

Таким образом, сторона куба равна 5/3.

Теперь находим радиус вписанной сферы. Поскольку сфера вписана в пирамиду ABCD, её радиус равен трети высоты пирамиды, опущенной из вершины D на основание ABC. Так как треугольник ABC прямоугольный, то высота равна радиусу сферы. Найдем высоту пирамиды ABCD:

Высота HD = BC = 5/3

Следовательно, радуис сферы равен 5/9.