Задача по линейной алгебре Постройте многочлен наименьшей степени с комплексными коэффициентами, имеющий:
а) простые корни 1,2,-1, I;
б) простые корни 1+i, 1, двукратный корень 2-i.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для заданных корней можем построить многочлены наименьшей степени следующим образом:

а) Для простых корней (1), (2), (-1) и (i) соответственно, многочлен можно записать в виде произведения линейных сомножителей:

[
P(x) = (x - 1)(x - 2)(x + 1)(x - i)
]

Это многочлен степени 4, так как у нас 4 различных корня. Если посчитать, получим:

[
P(x) = (x - 1)(x - 2)(x + 1)(x - i)
]

б) Для корней (1 + i), (1) и двукратного корня (2 - i) нам также нужно учитывать, что если корень комплексный, то его комплексно-сопряженный корень также входит в многочлен. Корень (1 + i) имеет сопряженный корень (1 - i). Таким образом, многочлен можно записать следующим образом:

[
Q(x) = (x - (1 + i))(x - (1 - i))(x - 1)(x - (2 - i))^2
]

Теперь посчитаем множители:

[
(x - (1 + i))(x - (1 - i)) = (x - 1 - i)(x - 1 + i) = (x - 1)^2 + 1 = x^2 - 2x + 2
]

[
(x - (2 - i))^2 = (x - 2 + i)^2 = (x - 2)^2 - 2i(x - 2) - 1
]

Теперь полностью составим (Q(x)):

[
Q(x) = (x^2 - 2x + 2)(x - 1)((x - 2)^2 + 1)
]

Здесь окончательно получаем многочлен наименьшей степени, который удовлетворяет всем условиям задачи. Для точных значений вы можете перемножить все составляющие, если это требуется.