В прямоугольной трапеции диагональ перпендикулярна боковой стороне, острый угол равен 45°. Найдите отношение меньшего основания к большему.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим прямоугольную трапецию как ABCD, где AB и CD — основания (AB — большее основание), AD и BC — боковые стороны, а диагонали AC и BD перпендикулярны боковой стороне AD.

Пусть угол A = 45°, что также означает, что угол D = 45° (т.к. AD и BC перпендикулярны основанию AB).

Пусть длина большего основания AB равна ( a ), а длина меньшего основания CD равна ( b ). Высота трапеции (то есть расстояние между основаниями) будет обозначена как ( h ).

На основании заданной информации мы можем установить следующее соотношение для высоты h:

[
h = b \tan(45^\circ) = b
]

Поскольку диагонали AC и BD перпендикулярны боковой стороне AD, то у нас также есть треугольник ABD, подобный прямоугольному треугольнику с углом 45°, где:

[
AD = h = b
]
[
AB = a
]

В этом треугольнике по теореме Пифагора:

[
AB^2 = AD^2 + BD^2
]

Где BD = AB - CD = a - b. Подставим значения:

[
a^2 = b^2 + (a - b)^2
]

Раскроем скобки:

[
a^2 = b^2 + (a^2 - 2ab + b^2)
]
[
a^2 = 2b^2 - 2ab + a^2
]

Сокращая ( a^2 ) с обеих сторон, получаем:

[
0 = 2b^2 - 2ab
]

Выносим 2b:

[
0 = 2b(b - a)
]

Чтобы это уравнение выполнялось, необходимо, чтобы ( b = 0 ) (что невозможно) или ( b = a ). Это противоречит условию, так как основание CD меньше основания AB.

Таким образом, мы имеем:

[
b = \frac{a}{2}
]

Теперь найдем отношение меньшего основания к большему:

[
\frac{b}{a} = \frac{\frac{a}{2}}{a} = \frac{1}{2}
]

Следовательно, отношение меньшего основания к большему основанию равно

[
\frac{1}{2}.
]