Найдите коэффициент многочлена (1+x^2-x^3)^7 при x^10 в разложении его по степеням x.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы найти коэффициент при ( x^{10} ) в разложении многочлена ( (1 + x^2 - x^3)^7 ), воспользуемся теорией бинома и методом поиска.

Разложим многочлен по биномиальной теореме:

[
(1 + x^2 - x^3)^7 = \sum_{k=0}^{7} \binom{7}{k} (x^2 - x^3)^k
]

Теперь раскроем ( (x^2 - x^3)^k ):

[
(x^2 - x^3)^k = \sum{j=0}^{k} \binom{k}{j} (x^2)^{k-j} (-x^3)^j = \sum{j=0}^{k} \binom{k}{j} (-1)^j x^{2(k-j) + 3j} = \sum_{j=0}^{k} \binom{k}{j} (-1)^j x^{2k - j}
]

Таким образом, мы можем переписать полное выражение:

[
(1 + x^2 - x^3)^7 = \sum{k=0}^{7} \binom{7}{k} \left( \sum{j=0}^{k} \binom{k}{j} (-1)^j x^{2k - j} \right)
]

Теперь мы ищем такие ( k ) и ( j ), чтобы степень ( x ) равнялась 10, т.е. ( 2k - j = 10 ). Отсюда получаем:

[
j = 2k - 10
]

Также должно выполняться условие ( 0 \leq j \leq k ), что дает дополнительные ограничения:

Но так как у нас ( k ) может принимать значения только от 0 до 7, то ограничение ( k \leq 7 ) будет действительным. Поэтому у нас есть единственное значение ( k = 5 ).

Теперь подставляем ( k = 5 ) в выражение для ( j ):

[
j = 2 \cdot 5 - 10 = 0
]

Теперь мы знаем, что ( k = 5 ) и ( j = 0 ). Подставим эти значения в выражение, чтобы найти коэффициент:

[
\binom{7}{5} \binom{5}{0} (-1)^0 = \binom{7}{5} \cdot 1 \cdot 1 = \binom{7}{5} = \binom{7}{2} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21
]

Таким образом, коэффициент при ( x^{10} ) в разложении многочлена ( (1 + x^2 - x^3)^7 ) равен ( \boxed{21} ).