Геометрия решение задачи В плоскости альфа лежит квадрат, диагональ которого равна 12. Сфера касается плоскости квадрата в точке пересечения его диагоналей. Найдите площадь сферы, : если центр сферы удален от вершин квадрата на 6√2.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Сначала найдем сторону квадрата. Если диагональ квадрата равна ( d = 12 ), то его сторона ( a ) можно найти по формуле диагонали квадрата:

[
d = a\sqrt{2}
]

Подставляем известное значение диагонали:

[
12 = a\sqrt{2}
]

Отсюда находим сторону квадрата:

[
a = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2}
]

Теперь найдем расстояние от центра сферы до плоскости квадрата. Поскольку центр сферы находится на расстоянии ( 6\sqrt{2} ) от вершин квадрата, давайте определим, как это расстояние соотносится с высотой центра сферы над плоскостью квадрата.

Поскольку квадрат симметричен и его диагонали пересекаются в центре квадрата, центр метится в точке ( (0,0) ). Вершины квадрата будут находиться на координатах:

[
\left(\pm 3\sqrt{2}, \pm 3\sqrt{2}\right)
]

Если центр сферы (обозначим его точкой ( O )) находится на высоте ( h ) над плоскостью квадрата, то расстояние от точки ( O ) до вершины квадрата ( A(3\sqrt{2}, 3\sqrt{2}) ) можно записать с помощью формулы расстояния в пространстве:

[
OA = \sqrt{(3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 + h^2} = \sqrt{18 + h^2}
]

По условию задачи это расстояние равно ( 6\sqrt{2} ):

[
\sqrt{18 + h^2} = 6\sqrt{2}
]

Возведем обе стороны в квадрат:

[
18 + h^2 = 72
]

Отсюда найдем ( h^2 ):

[
h^2 = 72 - 18 = 54
]

Следовательно,

[
h = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}
]

Теперь мы можем найти радиус ( R ) сферы. Он равен расстоянию от центра сферы до плоскости квадрата, а это как раз найденная высота ( h ):

[
R = h = 3\sqrt{6}
]

Теперь можем найти площадь поверхности сферы по формуле:

[
S = 4\pi R^2
]

Подставляем значение радиуса:

[
S = 4\pi (3\sqrt{6})^2 = 4\pi \cdot 9 \cdot 6 = 216\pi
]

Итак, площадь поверхности сферы равна:

[
\boxed{216\pi}
]