Чтобы найти значение ( \sin \frac{\pi}{8} ), можно использовать формулу половинного угла. Сначала заметим, что ( \frac{\pi}{8} = \frac{\pi/4}{2} ).

Формула для синуса половинного угла выглядит так:

[
\sin \frac{x}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos x}{2}}
]

Теперь подставим ( x = \frac{\pi}{4} ):

[
\sin \frac{\pi}{8} = \sin \frac{\frac{\pi}{4}}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \frac{\pi}{4}}{2}}
]

Зная, что ( \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} ), подставим это значение в формулу:

[
\sin \frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}
]

Таким образом, значение ( \sin \frac{\pi}{8} ) равно ( \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} ).