Домашнее задание последовательность a(n)=tg1/n ограниченая ли это последовательность и почему
a(n)= log (5) корень из n

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для анализа ограниченности последовательности ( a(n) = \tan\left(\frac{1}{n}\right) ) и ( b(n) = \log(5) \sqrt{n} ), рассмотрим каждую из них отдельно.

Последовательность ( a(n) = \tan\left(\frac{1}{n}\right) ):

Когда ( n \to \infty ), ( \frac{1}{n} \to 0 ). Мы знаем, что ( \tan(x) ) приближается к ( x ) при ( x ) стремящемся к 0. Следовательно,

[
\tan\left(\frac{1}{n}\right) \sim \frac{1}{n}
]

Таким образом, ( a(n) \to 0 ) при ( n \to \infty ). Это подразумевает, что последовательность ограничена: например, для всех ( n ) значение ( a(n) ) будет положительным и, через некоторое время, будет приближаться к 0 и оставаться больше 0.

В общем случае, поскольку ( \tan(x) ) является ограниченной в интервале, где ( x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) ), то ( a(n) ) ограничена.

Последовательность ( b(n) = \log(5) \sqrt{n} ):

Эта последовательность является неограниченной. Поскольку (\sqrt{n}) стремится к бесконечности, то и произведение (\log(5) \cdot \sqrt{n}) также стремится к бесконечности, учитывая, что (\log(5)) является положительным постоянным числом. В результате ( b(n) ) не ограничена.

Итак, обобщая: