Школьная задачка по геометрии Задача в треугольнике ABC BM медиана угол BAC=30 градусов угол BMC=45 градусов найти угол ABС

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте обозначим углы треугольника ( ABC ) как углы ( \angle BAC = 30^\circ ), ( \angle BMC = 45^\circ ).

Поскольку ( BM ) – медиана, точка ( M ) является серединой стороны ( AC ). Таким образом, треугольники ( ABM ) и ( BCM ) имеют общую сторону ( BM ) и углы ( \angle ABM ) и ( \angle CBM ) в равных отношениях.

Обозначим угол ( ABC ) как ( x ). Поскольку сумма углов в треугольнике равна ( 180^\circ ):

[
\angle ABM + \angle ABC + \angle BAC = 180^\circ
]
[
\angle ABM + x + 30^\circ = 180^\circ \Rightarrow \angle ABM = 150^\circ - x
]

Теперь рассмотрим треугольник ( BMC ):
[
\angle BMC + \angle CBM + \angle BCM = 180^\circ
]
[
45^\circ + \angle CBM + \angle BCM = 180^\circ \Rightarrow \angle CBM + \angle BCM = 135^\circ
]

Так как ( M ) – середина стороны ( AC ), ( \angle CBM = \angle ABM ). Тогда мы можем подставить:
[
\angle CBM + (150^\circ - x) = 135^\circ
]
Это приводит нас к:
[
\angle CBM = 135^\circ - (150^\circ - x) = x - 15^\circ
]

Теперь, поскольку ( \angle CBM + \angle ABC + \angle BAC = 180^\circ ):
[
(x - 15^\circ) + x + 30^\circ = 180^\circ
]
[
2x + 15^\circ = 180^\circ
]
[
2x = 165^\circ \Rightarrow x = 82.5^\circ
]

Таким образом, угол ( ABC ) равен ( 82.5^\circ ).