ЗАДАЧА ПО МАТЕМАТИКЕ НА ДОКАЗАТЕЛЬСТВО! Задача:
Пусть a и b - различные числа. Известно, что остаток от деления многочлена P(x) на многочлен (x-a) равен некоторому числу C1, остаток от деления многочлена P(x) на многочлен (x-b) равен некоторому числу C2, а остаток от деления многочлена P(x) на многочлен (x-a)(x-b) равен некоторому числу С Верно ли, что C1=C2=C3? Ответ обоснуйте.
Я считаю что нет, т.к. при делении на один и тот же многочлен на 2 разных многочлена, то ответ будет разным, то есть C1 != C2. Правильно ли так рассуждать или же нужно дополнение?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Ваше первоначальное предположение о том, что ( C_1 \neq C_2 ), не совсем верно. Давайте разберем вашу задачу более подробно.

Согласно теореме о остатке от деления многочлена, остаток от деления многочлена ( P(x) ) на многочлен ( (x-a) ) равен ( P(a) ), и остаток от деления на многочлен ( (x-b) ) равен ( P(b) ). Таким образом:

( C_1 = P(a) )( C_2 = P(b) )

Многочлен ( (x-a)(x-b) ) имеет степень 2, поэтому остаток от деления многочлена ( P(x) ) на этот многочлен будет также представлять собой многочлен степени не выше 1, то есть имеет вид ( R(x) = Ax + B ), где ( A ) и ( B ) — некоторые постоянные. При делении ( P(x) ) на ( (x-a)(x-b) ) остаток равен ( R(a) ) и ( R(b) ):

( C = R(x) ) при ( R(a) ) означает, что ( C = Aa + B )( C = R(b) ) означает, что ( C = Ab + B )

Таким образом, у нас есть система:

[
\begin{aligned}
C &= Aa + B, \
C &= Ab + B.
\end{aligned}
]

Решив эту систему, мы можем получить:

( Aa + B = Ab + B )Упростив, получаем ( Aa = Ab ).Так как ( a \neq b ), можно разделить обе стороны на ( a - b ) и получить ( A = 0 ).

Таким образом, заканчиваем с ( C = B ), где ( B ) — это постоянная, и остаток от деления многочлена ( P(x) ) на ( (x-a)(x-b) ) является просто константой, которую можно обозначить как ( C ).

Итак, мы можем заключить:

( C_1 = P(a) )( C_2 = P(b) )И остаток ( C ) равен ( B )

Это означает, что ( P(a) ) и ( P(b) ) могут быть равны или не равны, но остаток ( C ) от деления на ( (x-a)(x-b) ) не обязательно равен ( C_1 ) или ( C_2 ).

Таким образом, можно утверждать, что ( C_1 \neq C_2 ) в общем случае, и ( C ) может быть равно как ( C_1 ), так и ( C_2 ), но не обязательно равно обоим. Следовательно, ваша изначальная логика не совсем точна; нужно учитывать, что остатки ( C_1 ) и ( C_2 ) могут быть различными, но остальное неправильно.

Итак, правильный ответ: не всегда ( C_1 = C_2 = C ). Это зависит от многочлена ( P(x) ).