Геометрия. задача по теме конус Угол при вершине осевого сечения равен 60 градусов. сумма длин его высоты и образующей равна 2 см. найти площадь полной боковой поверхности конуса

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы решить эту задачу, начнем с определения необходимых величин и использованию геометрических формул.

Определим высоту и образующую конуса: Обозначим высоту конуса как ( h ), а длину образующей как ( l ). По условию задачи:
[
h + l = 2 \text{ см}
]

Используем угол при вершине: Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60 градусов. Это означает, что мы можем использовать тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике, образованном радиусом основания ( r ), высотой ( h ) и образующей ( l ). Учитывая угол в 60 градусов в вершине, можем записать:
[
\tan(30^\circ) = \frac{r}{h}
]
Так как ( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} ), получаем:
[
\frac{r}{h} = \frac{1}{\sqrt{3}} \implies r = \frac{h}{\sqrt{3}}
]

Выразим образующую через высоту: Мы знаем, что ( l^2 = r^2 + h^2 ) (по теореме Пифагора). Подставим сюда ( r ):
[
l^2 = \left(\frac{h}{\sqrt{3}}\right)^2 + h^2
]
[
l^2 = \frac{h^2}{3} + h^2 = \frac{h^2}{3} + \frac{3h^2}{3} = \frac{4h^2}{3}
]
Таким образом,
[
l = \sqrt{\frac{4h^2}{3}} = \frac{2h}{\sqrt{3}}
]

Подставим значение образующей в уравнение суммы: Мы имеем:
[
h + \frac{2h}{\sqrt{3}} = 2
]
Упростим это уравнение:
[
h \left(1 + \frac{2}{\sqrt{3}}\right) = 2
]

Теперь найдем общий знаменатель:
[
1 + \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3}}
]
В итоге у нас:
[
h \cdot \frac{\sqrt{3} + 2}{\sqrt{3}} = 2
]
Следовательно,
[
h = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} + 2}
]

Найдем образующую (l): Теперь подставим значение ( h ) в ( l = 2 - h ):
[
l = 2 - \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} + 2} = \frac{2(\sqrt{3} + 2) - 2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} + 2} = \frac{4}{\sqrt{3} + 2}
]

Теперь найдем радиус (r): Подставим ( h ) в ( r = \frac{h}{\sqrt{3}} ):
[
r = \frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} + 2 \sqrt{3}} = \frac{2 \sqrt{3}}{3 + 2} = \frac{2 \sqrt{3}}{5}
]

Находим площадь боковой поверхности: Формула для площади боковой поверхности конуса:
[
S{б} = \pi r l
]
Подставим найденные значения:
[
S{б} = \pi \cdot \frac{2 \sqrt{3}}{5} \cdot \frac{4}{\sqrt{3} + 2}
]

Получаем окончательную площадь полной боковой поверхности конуса.

Ответ: После упрощения:
[
S_{б} = \frac{8\pi \sqrt{3}}{5(\sqrt{3}+2)}
]

Так и получаем площадь полной боковой поверхности конуса.