Даны точки ?(−1; −1; 2), ?(2; 2; 0) и
?(2 ∙ (1 + 2); 1^2
+ 3 + 4; 7 − 2( 1 + 1)). Даны точки ?(−1; −1; 2), ?(2; 2; 0) и
?(2 ∙ (1 + 2); 1^2 + 3 + 4; 7 − 2( 1 + 1)). Образуют ли эти
точки треугольник? Если да, то чему равна его площадь? Если нет, то
запишите формулу для нахождения площади треугольника
средствами векторной алгебры.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы определить, образуют ли точки ( A(-1; -1; 2) ), ( B(2; 2; 0) ) и ( C(2 \cdot (1 + 2); 1^2 + 3 + 4; 7 - 2( 1 + 1)) ) треугольник, сначала найдем координаты точки ( C ).

Вычислим координаты точки ( C ):

Первый компонент: ( 2 \cdot (1 + 2) = 2 \cdot 3 = 6 ).Второй компонент: ( 1^2 + 3 + 4 = 1 + 3 + 4 = 8 ).Третий компонент: ( 7 - 2( 1 + 1) = 7 - 2 \cdot 2 = 7 - 4 = 3 ).

Таким образом, координаты точки ( C ) будут ( C(6; 8; 3) ).

Теперь у нас есть три точки:

( A(-1; -1; 2) )( B(2; 2; 0) )( C(6; 8; 3) )

Чтобы проверить, не лежат ли три точки на одной прямой, можно вычислить векторы ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{AC} ) и проверить, линейно ли они зависимы. Если детерминант, составленный из координат этих векторов, равен нулю, то точки лежат на одной прямой.

Вычислим векторы:
[
\overrightarrow{AB} = B - A = (2 - (-1), 2 - (-1), 0 - 2) = (3, 3, -2)
]
[
\overrightarrow{AC} = C - A = (6 - (-1), 8 - (-1), 3 - 2) = (7, 9, 1)
]

Теперь составим матрицу из векторов ( \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{AC} ):
[
M = \begin{pmatrix}
3 & 7 \
3 & 9 \
-2 & 1
\end{pmatrix}
]

Теперь найдем определитель этой матрицы. Поскольку у нас 3D, для проверки линейной зависимости можно использовать векторное произведение. Для нахождения площади треугольника векторной алгеброй используем:
[
S = \frac{1}{2} || \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} ||
]

Для нахождения векторного произведения:
[
\overrightarrow{AB} = (3, 3, -2), \quad \overrightarrow{AC} = (7, 9, 1)
]

Векторное произведение ( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} ):
[
\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
3 & 3 & -2 \
7 & 9 & 1
\end{vmatrix}
= \mathbf{i} \begin{vmatrix} 3 & -2 \ 9 & 1 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 3 & -2 \ 7 & 1 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 3 & 3 \ 7 & 9 \end{vmatrix}
]
Вычислим определители:

( \begin{vmatrix} 3 & -2 \ 9 & 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot 1 - (-2) \cdot 9 = 3 + 18 = 21 )( \begin{vmatrix} 3 & -2 \ 7 & 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot 1 - (-2) \cdot 7 = 3 + 14 = 17 )( \begin{vmatrix} 3 & 3 \ 7 & 9 \end{vmatrix} = 3 \cdot 9 - 3 \cdot 7 = 27 - 21 = 6 )

Итак:
[
\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = (21, -17, 6)
]

Теперь найдём длину векторного произведения:
[
|| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} || = \sqrt{21^2 + (-17)^2 + 6^2} = \sqrt{441 + 289 + 36} = \sqrt{766}
]

Итак, площадь треугольника ( S ):
[
S = \frac{1}{2} || \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} || = \frac{1}{2} \sqrt{766}
]

Таким образом, точки ( A ), ( B ) и ( C ) образуют треугольник, и его площадь равна ( \frac{1}{2} \sqrt{766} ).