Чему равен угол между отрезками соединяющими углы квадрата с серединой его противоположной стороны?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте рассмотрим квадрат ABCD. Пусть его стороны равны ( a ). Мы обозначим середины отрезков, соединяющих противоположные углы, как точку E, которая будет находиться на середине стороны AB, и точку F, которая будет находиться на середине стороны CD.

Таким образом, у нас есть два отрезка: отрезок AE и отрезок CF.

Для нахождения угла между этими двумя отрезками, нам нужно определить их векторы. Установим координатную систему, в которой:

Вектор, соединяющий A и E:
[
\vec{AE} = \left(\frac{a}{2} - 0, 0 - 0\right) = \left(\frac{a}{2}, 0\right)
]

Вектор, соединяющий C и F:
[
\vec{CF} = \left(\frac{a}{2} - a, a - a\right) = \left(-\frac{a}{2}, 0\right)
]

Теперь определим угол между этими векторами. Мы знаем, что угол ( \theta ) между векторами (\vec{u}) и (\vec{v}) может быть найден с помощью формулы:
[
\cos(\theta) = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| |\vec{v}|}
]

В нашем случае:
[
\vec{u} = \vec{AE} = \left(\frac{a}{2}, 0\right),
\quad \vec{v} = \vec{CF} = \left(-\frac{a}{2}, 0\right)
]

Скалярное произведение:
[
\vec{u} \cdot \vec{v} = \left(\frac{a}{2}\right) \left(-\frac{a}{2}\right) + 0 \cdot 0 = -\frac{a^2}{4}
]

Длину векторов:
[
|\vec{u}| = \sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2 + 0^2} = \frac{a}{2}, \quad |\vec{v}| = \sqrt{\left(-\frac{a}{2}\right)^2 + 0^2} = \frac{a}{2}
]

Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла:
[
\cos(\theta) = \frac{-\frac{a^2}{4}}{\left(\frac{a}{2}\right) \cdot \left(\frac{a}{2}\right)} = \frac{-\frac{a^2}{4}}{\frac{a^2}{4}} = -1
]

Это означает, что угол ( \theta ) равен 180 градусам. Следовательно, отрезки AE и CF находятся в противоположных направлениях.

Таким образом, угол между отрезками, соединяющими углы квадрата с серединой его противоположной стороны, равен 180 градусам.