Решите систему уравнений {x⁵•y⁷=32
{x⁷•y⁵=128
Каким способом не решала не могу

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы решить систему уравнений:

[
\begin{cases}
x^5y^7 = 32 \quad (1) \
x^7y^5 = 128 \quad (2)
\end{cases}
]

Мы можем переписать каждое уравнение в виде, более удобном для манипуляций. Обозначим (a = x^5) и (b = y^5). Тогда из первого уравнения мы можем выразить (y) через (x):

1) Из уравнения (1):

[
a y^2 = 32 \implies y^2 = \frac{32}{a}
]

2) Из уравнения (2):

[
x^7 b = 128 \implies x^7 = \frac{128}{b}
]

Теперь подставим выражение (y^2 = \frac{32}{a}) в уравнение (2), используя (b = y^5 = y^{2.5}), но чтобы упростить процесс, давайте представим (x) и (y) в другом виде.

Выразим (y) из первого уравнения:

[
y^7 = \frac{32}{x^5} \implies y = \left(\frac{32}{x^5}\right)^{1/7} = \frac{32^{1/7}}{x^{5/7}}
]

Подставляем это выражение во второе уравнение:

[
x^7 \left(\frac{32^{1/7}}{x^{5/7}}\right)^5 = 128
]

Выразим (y) из второго уравнения:

[
y^5 = \frac{128}{x^7} \implies y = \left(\frac{128}{x^7}\right)^{1/5} = \frac{128^{1/5}}{x^{7/5}}
]

Теперь можем приравнять два выражения для (y):

[
\frac{32^{1/7}}{x^{5/7}} = \frac{128^{1/5}}{x^{7/5}}
]

Если решим это уравнение, то получим значение (x).

Теперь, воспользуемся тем, что (32 = 2^5) и (128 = 2^7):

1) Перепишем первое уравнение как:

[
x^5 y^7 = 2^5 \implies (xy)^{5 + 7} = 2^{12}
]

2) Второе уравнение:

[
x^7 y^5 = 128 = 2^7 \implies (xy)^{7 + 5} = 2^{12}
]

Таким образом, видно, что обе формы дают одно и то же выражение.

Теперь мы можем решить систему:

Поделим первое уравнение на второе:

[
\frac{x^5y^7}{x^7y^5} = \frac{32}{128}
]

Упрощается:

[
\frac{y^2}{x^2} = \frac{1}{4} \implies \frac{y}{x} = \frac{1}{2} \implies y = \frac{1}{2}x
]

Теперь подставляем (y = \frac{1}{2}x) в первое уравнение:

[
x^5 \left(\frac{1}{2}x\right)^7 = 32 \implies x^5 \cdot \frac{1}{128} x^7 = 32 \implies \frac{x^{12}}{128} = 32
]

Умножим обе стороны на 128:

[
x^{12} = 32 \cdot 128 \implies x^{12} = 4096 = 2^{12}
]

Следовательно:

[
x = 2
]

Теперь подставляем это значение в найденное выражение для (y):

[
y = \frac{1}{2} x = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1
]

Итак, решение системы:

[
x = 2, \quad y = 1
]

Таким образом, ответ: ( (x, y) = (2, 1) ).