При каком значении параметра b система уравнеНИй
x^2+ y = b,
x^2+ y^2= 5
имеет: а) одно решение; б) три решения?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для исследования системы уравнений

сначала выразим ( y ) из первого уравнения:

[
y = b - x^2
]

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

[
x^2 + (b - x^2)^2 = 5
]

Решим уравнение:

[
x^2 + (b^2 - 2bx^2 + x^4) = 5
]

Группируем подобные члены:

[
x^4 + (1 - 2b)x^2 + (b^2 - 5) = 0
]

Теперь это уравнение можно рассматривать как квадратное относительно ( z = x^2 ):

[
z^2 + (1 - 2b)z + (b^2 - 5) = 0
]

Чтобы определить количество решений по ( z ) и, следовательно, по ( x ) и ( y ), найдем дискриминант этого квадратного уравнения:

[
D = (1 - 2b)^2 - 4(b^2 - 5)
]

Упростим дискриминант:

[
D = (1 - 2b)^2 - 4b^2 + 20 = 1 - 4b + 4b^2 - 4b^2 + 20 = 21 - 4b
]

Теперь анализируем дискриминант:

Для одного решения: Уравнение имеет одно решение, когда дискриминант равен нулю:
[
21 - 4b = 0 \implies b = \frac{21}{4} = 5.25
]

Для трёх решений: Уравнение имеет три решения, когда дискриминант положителен и один из корней равен нулю. Это значит, что один из корней (то есть ( z )) должен быть равен 0, а другой должен быть положительным.
При ( z = 0 ):
[
0^2 + (1 - 2b) \cdot 0 + (b^2 - 5) = 0
]
Это условие даст:
[
b^2 - 5 = 0 \implies b = \sqrt{5} \text{ или } b = -\sqrt{5}
]

Однако, чтобы получить 3 решения, остальные условия должны учитываться:
При ( b = \sqrt{5} ):
[
D = 21 - 4\sqrt{5} > 0 \quad (\text{как минимум})
]
При всех ( b ) где ( \sqrt{5} < b < 5.25 ) дискриминант положителен, и мы можем получить 3 решения.

Итак, в ответах мы имеем:

а) ( b = 5.25 ) — одно решение
б) ( b ) в диапазоне ( (\sqrt{5}, 5.25) ) — три решения.