Сформулируйте теорему о перпендикуляре. Докажите её

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Теорема о перпендикуляре: Если прямая перпендикулярна к плоскости, то она образует прямой угол с любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку пересечения.

Рассмотрим плоскость (\alpha) и прямую (l), которая перпендикулярна к плоскости (\alpha) в точке (O). Построим любую прямую (m), лежащую в плоскости (\alpha), и проходящую через точку (O). Обозначим произвольную точку на прямой (m) как (A).

По определению перпендикуляра, прямая (l) перпендикулярна плоскости (\alpha) в точке (O), значит угол между прямой (l) и любым вектором, лежащим в плоскости (\alpha), равен 90 градусам.

Вектор ( \overrightarrow{OA} ) – это вектор, направленный от точки (O) к точке (A) на прямой (m), которая лежит в плоскости (\alpha).

Рассмотрим угол (\angle OAX), где (X) – произвольная точка на прямой (l). Так как прямая (l) перпендикулярна к плоскости (\alpha) в точке (O), угол (\angle OAX) будет равен 90 градусам.

Следовательно, прямая (l) образует прямой угол с любой прямой (m), проходящей через точку (O) и лежащей в плоскости (\alpha).

Таким образом, мы пришли к выводу, что прямая (l), перпендикулярная к плоскости, образует прямые углы с любой прямой, лежащей в этой плоскости. Теорема доказана.