Олимпиада по математике за круглым столом сидят эльфы и гномы. Каждый из них говорит правду представителям своей расы и врёт остальным. Всего их 53. Кто-то из них сказал своему соседу слева: "Большинство из нас эльфы". Тот сказал своему соседу слева: "Большинство из нас гномы", а тот своему: "Большинство из нас эльфы". И далее по кругу чередуя утверждения, пока последний не сказал начинавшему: "Большинство из нас эльфы". сколько среди них эльфов?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте обозначим количество эльфов как ( E ), а количество гномов как ( G ). У нас есть общее количество людей:

[
E + G = 53
]

Из утверждений участников видно, что, должно быть, количество эльфов и гномов чередуется в их высказываниях. Первый участник говорит, что "большинство из нас эльфы", что правда, только если эльфов больше, чем гномов (то есть ( E > G )). Следующий участник говорит, что "большинство из нас гномы", что правда, только если гномов больше, чем эльфов (то есть ( G > E )). Таким образом, первое утверждение противоречит второму, если оба участника говорят правду.

Поскольку высказывания идут по кругу и все эти высказывания повторяются, в то же время общее количество высказываний сводится к следующему: если первый говорит, что большинство эльфов, второй, что большинство гномов, и так далее, как минимум один из них обманывает. Поэтому в случае справедливости первоначального утверждения ( E ) должно быть больше ( G ), а в случае второго утверждения — наоборот. Это может привести к противоречию, если количество эльфов и гномов не будет одинаковым.

При анализе данной ситуации, можно обнаружить, что количество эльфов и гномов должно быть таким образом, чтобы их соотношение всегда оставалось в пользу одной из сторон, что не может быть истинным при равенстве количества.

Итак, чтобы удовлетворить условиям, единственное возможное решение — это когда ( E ) превосходит ( G ) на единицу, так как тогда у нас будет:

[
G = E - 1
]

Подставляем это в уравнение общее, имеем:

[
E + (E - 1) = 53 \implies 2E - 1 = 53 \implies 2E = 54 \implies E = 27
]

Таким образом, количество эльфов будет равно ( 27 ), а количество гномов будет равно ( 26 ).

Итак, ответ: среди них 27 эльфов.