Высшая математика. Прошу вас написать с разбором. Точка А(1,-1), В(3,5), с(-7,11) является вершинами треугольника. Составить уравнение прямой (1), проходящей через середины сторон АВ и АС. Найти расстояние от точки В до прямой(1).Парабола симметрична относительно оси Ох, проходит через точку А (6,-2) а ее вершина лежит в начале координат. Составить уравнение параболы. Найти фокус, уравнение директрисы. Построить параболу.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М0(-1,-1,2) и перпендикулярной плоскостям x-2y+z-4=0 и x+2y-2z+4=0Составить параметрические и канонические уравнения перпендикуляра, проведенного из начала координат на плоскости 3x-2y+5z-4=0. Найти точку пересечения перпендикуляра и плоскости.Найти угол между прямой, проходящей через точку А(5,1,-4) и В(6,1,-3) и плоскостью 2x-2y+z-3=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте решим все задачи по очереди.

1. Уравнение прямой, проходящей через середины сторон AB и AC треугольника, и расстояние от точки B до этой прямой.

Шаг 1: Найдем середины отрезков AB и AC.

Середина отрезка AB:
[
M_1 = \left( \frac{1 + 3}{2}, \frac{-1 + 5}{2} \right) = \left( 2, 2 \right)
]

Середина отрезка AC:
[
M_2 = \left( \frac{1 - 7}{2}, \frac{-1 + 11}{2} \right) = \left( -3, 5 \right)
]

Шаг 2: Найдем уравнение прямой, проходящей через точки M1(2, 2) и M2(-3, 5). Сначала находим направляющий вектор ( \vec{d} ):
[
\vec{d} = (M_2 - M_1) = (-3 - 2, 5 - 2) = (-5, 3)
]

Составим уравнение прямой в параметрической форме:
[
\begin{cases}
x = 2 - 5t \
y = 2 + 3t
\end{cases}
]

Для нахождения уравнения прямой в общем виде, использем формулу:
[
\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}
]

Точки ( M_1(2, 2) ) и ( M_2(-3, 5) ) приводят к:
[
\frac{y - 2}{5 - 2} = \frac{x - 2}{-3 - 2}
]
или
[
\frac{y - 2}{3} = \frac{x - 2}{-5}
]
Переписываем:
[
-5(y - 2) = 3(x - 2) \implies 5y + 3x - 19 = 0
]

Шаг 3: Найдем расстояние от точки B(3, 5) до полученной прямой. Используем формулу расстояния от точки до прямой:
[
\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
]

Где ( A = 3, B = 5, C = -19, (x_0, y_0) = (3, 5) ):
[
\text{Расстояние} = \frac{|3 \cdot 3 + 5 \cdot 5 - 19|}{\sqrt{3^2 + 5^2}} = \frac{|9 + 25 - 19|}{\sqrt{9 + 25}} = \frac{|15|}{\sqrt{34}} = \frac{15}{\sqrt{34}}
]

2. Уравнение параболы, фокус и директрисса.

Уравнение параболы:

Парабола с вершиной в начале координат и симметрией относительно оси Ox имеет вид:
[
y = ax^2
]

Условие: проходит через точку ( A(6, -2) ): [
-2 = a(6^2) \implies -2 = 36a \implies a = -\frac{1}{18}
]

Таким образом, уравнение параболы:
[
y = -\frac{1}{18}x^2
]

Фокус и директрисса: Фокус параболы ( (0, p) ) где ( p = \frac{1}{4a} ):
[
p = \frac{1}{4 \cdot -\frac{1}{18}} = -\frac{9}{2} \quad \text{(фокус: (0, -4.5))}
]

Директрисса: ( y = -p = \frac{9}{2} ) или ( y = 4.5 ).

3. Уравнение плоскости, проходящей через точку ( M_0(-1, -1, 2) ) и перпендикулярной данным плоскостям.

Ось нормалей: Нормали данных плоскостей:

( (1, -2, 1) ) (плоскость ( x - 2y + z - 4 = 0 ))( (1, 2, -2) ) (плоскость ( x + 2y - 2z + 4 = 0 ))

Нормаль новой плоскости определяется как векторное произведение:
[
\vec{n} = \begin{vmatrix}
i & j & k \
1 & -2 & 1 \
1 & 2 & -2
\end{vmatrix}
]

[
= i\left((-2)(-2)-1(2)\right) - j\left(1(-2) - 1(1)\right) + k\left(1(2) - 1(-2)\right)
]
[
= i(4 - 2) - j(-2 - 1) + k(2 + 2)
]
[
= 2i + 3j + 4k
]
Таким образом, нормаль ( \vec{n} = (2, 3, 4) ).

Уравнение плоскости: [
2(x + 1) + 3(y + 1) + 4(z - 2) = 0 \implies 2x + 3y + 4z - 5 = 0
]

4. Параметрические и канонические уравнения перпендикуляра.

Шаг 1: Нормаль плоскости: ( (3, -2, 5) ) (coefficients in front of x, y, z)

Шаг 2: Параметрические уравнения: Точка ( M(0, 0, 0) ), направляющий вектор ( (3, -2, 5) ):
[
\begin{cases}
x = 3t \
y = -2t \
z = 5t
\end{cases}
]

Шаг 3: Уравнение канонической формы: Уравнение плоскости:
[
3x - 2y + 5z - 4 = 0
]
Заменяем ( t ) для нахождения точки пересечения.

Подставляя уравнения из параметрической формы в уравнение плоскости:
[
3(3t) - 2(-2t) + 5(5t) - 4 = 0 \implies 9t + 4t + 25t - 4 = 0 \implies 38t = 4 \quad t = \frac{2}{19}
]

Подставляем в параметрические уравнения:
[
x = 3 \cdot \frac{2}{19} = \frac{6}{19}, \quad y = -2 \cdot \frac{2}{19} = -\frac{4}{19}, \quad z = 5 \cdot \frac{2}{19} = \frac{10}{19}
]

5. Угол между прямой и плоскостью.

Шаг 1: Вектор прямой ( \vec{AB} ): [
\vec{AB} = B - A = (6-5, 1-1, -3-(-4)) = (1, 0, 1)
]

Шаг 2: Нормаль плоскости ( \vec{n} ): (\vec{n} = (2, -2, 1))

Шаг 3: Угол между векторами: Используем формулу:
[
\cos \theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{n}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{n}|}
]
где
[
\vec{AB} \cdot \vec{n} = 1 \cdot 2 + 0 \cdot (-2) + 1 \cdot 1 = 3
]
[
|\vec{AB}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}
]
[
|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3
]
Следовательно:
[
\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{2} \cdot 3} = \frac{1}{\sqrt{2}}
]
Таким образом, угол между прямой и плоскостью:
[
\theta = 45^\circ
]

Таким образом, мы разобрали все пункты! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь спрашивать.