Трудная задача. Математика. Найти число, которое обладает следующим свойством: если к такому числу прибавить 297, то получится трёхзначное число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке
Обозначим искомое число как ( x ). По условию задачи выполняется равенство:
[ x + 297 = \text{перевернутое число } x ]
Пусть ( x ) — это трехзначное число, и мы можем записать его в виде ( 100a + 10b + c ), где ( a ), ( b ), и ( c ) — это его цифры (при этом ( a ) не может быть равным 0, поскольку ( x ) трехзначное).
Перевернутое число будет выглядеть как ( 100c + 10b + a ). Подставим это в наше уравнение:
[ 100a + 10b + c + 297 = 100c + 10b + a ]
Упростим уравнение:
[ 100a + c + 297 = 100c + a ]
Переносим все члены в одну сторону:
[ 100a - a + c - 100c + 297 = 0 ]
Это упрощается до:
[ 99a - 99c + 297 = 0 ]
Разделим всё уравнение на 99:
[ a - c + 3 = 0 ]
Отсюда получаем:
[ a - c = -3 \quad \Rightarrow \quad a = c - 3 ]
Теперь, учитывая, что ( a ) и ( c ) — это цифры, они должны быть в пределах от 0 до 9. Поскольку ( a ) — навигатор, он должен быть от 1 до 9, так как ( x ) — трехзначное число.
Теперь мы можем найти подходящие пары ( (a, c) ):
Если ( c = 3 ), то ( a = 0 ) (не подходит).Если ( c = 4 ), то ( a = 1 ).Если ( c = 5 ), то ( a = 2 ).Если ( c = 6 ), то ( a = 3 ).Если ( c = 7 ), то ( a = 4 ).Если ( c = 8 ), то ( a = 5 ).Если ( c = 9 ), то ( a = 6 ).
Далее, ( b ) может принимать любое значение от 0 до 9.
Теперь найдём все возможные числа ( x ):
( c = 4, a = 1: x = 100 \cdot 1 + 10b + 4 = 104 + 10b )( c = 5, a = 2: x = 200 + 10b + 5 = 205 + 10b )( c = 6, a = 3: x = 300 + 10b + 6 = 306 + 10b )( c = 7, a = 4: x = 400 + 10b + 7 = 407 + 10b )( c = 8, a = 5: x = 500 + 10b + 8 = 508 + 10b )( c = 9, a = 6: x = 600 + 10b + 9 = 609 + 10b )
Теперь посмотрим на пару ( (b, x) ), чтобы выяснить, при каком ( b ) ( x + 297 ) будет вращенным числом ( x ):
Для ( b = 0 ): ( x = 104 ): ( 104 + 297 = 401 ) (верно).( x = 205 ): ( 205 + 297 = 502 ) (не верно).( x = 306 ): ( 306 + 297 = 603 ) (не верно).( x = 407 ): ( 407 + 297 = 704 ) (не верно).( x = 508 ): ( 508 + 297 = 805 ) (не верно).( x = 609 ): ( 609 + 297 = 906 ) (не верно).
Таким образом, единственным подходящим решением будет:
Обозначим искомое число как ( x ). По условию задачи выполняется равенство:
[
x + 297 = \text{перевернутое число } x
]
Пусть ( x ) — это трехзначное число, и мы можем записать его в виде ( 100a + 10b + c ), где ( a ), ( b ), и ( c ) — это его цифры (при этом ( a ) не может быть равным 0, поскольку ( x ) трехзначное).
Перевернутое число будет выглядеть как ( 100c + 10b + a ). Подставим это в наше уравнение:
[
100a + 10b + c + 297 = 100c + 10b + a
]
Упростим уравнение:
[
100a + c + 297 = 100c + a
]
Переносим все члены в одну сторону:
[
100a - a + c - 100c + 297 = 0
]
Это упрощается до:
[
99a - 99c + 297 = 0
]
Разделим всё уравнение на 99:
[
a - c + 3 = 0
]
Отсюда получаем:
[
a - c = -3 \quad \Rightarrow \quad a = c - 3
]
Теперь, учитывая, что ( a ) и ( c ) — это цифры, они должны быть в пределах от 0 до 9. Поскольку ( a ) — навигатор, он должен быть от 1 до 9, так как ( x ) — трехзначное число.
Теперь мы можем найти подходящие пары ( (a, c) ):
Если ( c = 3 ), то ( a = 0 ) (не подходит).Если ( c = 4 ), то ( a = 1 ).Если ( c = 5 ), то ( a = 2 ).Если ( c = 6 ), то ( a = 3 ).Если ( c = 7 ), то ( a = 4 ).Если ( c = 8 ), то ( a = 5 ).Если ( c = 9 ), то ( a = 6 ).Далее, ( b ) может принимать любое значение от 0 до 9.
Теперь найдём все возможные числа ( x ):
( c = 4, a = 1: x = 100 \cdot 1 + 10b + 4 = 104 + 10b )( c = 5, a = 2: x = 200 + 10b + 5 = 205 + 10b )( c = 6, a = 3: x = 300 + 10b + 6 = 306 + 10b )( c = 7, a = 4: x = 400 + 10b + 7 = 407 + 10b )( c = 8, a = 5: x = 500 + 10b + 8 = 508 + 10b )( c = 9, a = 6: x = 600 + 10b + 9 = 609 + 10b )Теперь посмотрим на пару ( (b, x) ), чтобы выяснить, при каком ( b ) ( x + 297 ) будет вращенным числом ( x ):
Для ( b = 0 ):( x = 104 ): ( 104 + 297 = 401 ) (верно).( x = 205 ): ( 205 + 297 = 502 ) (не верно).( x = 306 ): ( 306 + 297 = 603 ) (не верно).( x = 407 ): ( 407 + 297 = 704 ) (не верно).( x = 508 ): ( 508 + 297 = 805 ) (не верно).( x = 609 ): ( 609 + 297 = 906 ) (не верно).
Таким образом, единственным подходящим решением будет:
[
\boxed{104}
]