Найти расстояние от начала координат до нормали к линии у=е^2х + х^2, проведенной в точке х=0.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем уравнение касательной и нормали к графику функции ( y = e^{2x} + x^2 ) в точке ( x = 0 ).

Найдем значение функции в точке ( x = 0 ):
[
y(0) = e^{2 \cdot 0} + 0^2 = e^0 + 0 = 1.
]
Таким образом, точка на графике: ( (0, 1) ).

Найдём производную функции:
[
y' = \frac{d}{dx}(e^{2x} + x^2) = 2e^{2x} + 2x.
]

Подставим ( x = 0 ) в производную, чтобы найти угловой коэффициент касательной:
[
y'(0) = 2e^{2 \cdot 0} + 2 \cdot 0 = 2e^0 + 0 = 2.
]

Уравнение касательной в точке ( (0, 1) ) можно записать в виде:
[
y - 1 = 2(x - 0) \Rightarrow y = 2x + 1.
]

Найдем угловой коэффициент нормали. Угловой коэффициент нормали — это отрицательный обратный угловой коэффициент касательной:
[
m{\text{н}} = -\frac{1}{m{\text{кас}}} = -\frac{1}{2}.
]

Уравнение нормали будет иметь вид:
[
y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 0) \Rightarrow y = -\frac{1}{2}x + 1.
]

Теперь мы имеем уравнение нормали: ( y = -\frac{1}{2}x + 1 ).

Найдём пересечение нормали с осью ( y ):
При ( x = 0 ) мы находим:
[
y = 1.
]
Таким образом, нормаль пересекает ось ( y ) в точке ( (0, 1) ).

Теперь найдем расстояние от начала координат ( (0, 0) ) до точки пересечения нормали с осью ( y ), которая, как мы увидели, также равна ( (0, 1) ).

Расстояние ( d ) между двумя точками ( (x_1, y_1) = (0, 0) ) и ( (x_2, y_2) = (0, 1) ) вычисляется по формуле:
[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} = \sqrt{(0 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{0 + 1} = 1.
]

Ответ: расстояние от начала координат до нормали равно ( 1 ).