Найти углы, под которыми пересекаются линии х^2+у^2=8 и у^2=2х

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти углы, под которыми пересекаются две кривые, сначала найдем их точки пересечения. Данные кривые задаются уравнениями:

( x^2 + y^2 = 8 ) (круг радиуса ( \sqrt{8} ))( y^2 = 2x ) (парабола)

Мы можем выразить ( y^2 ) из второго уравнения и подставить его в первое. Получаем:

[
x^2 + 2x = 8
]

Перепишем это уравнение:

[
x^2 + 2x - 8 = 0
]

Теперь решим его с помощью дискриминанта:

[
D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36
]

Теперь найдем корни уравнения:

[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \quad \text{и} \quad \frac{-8}{2} = -4
]

Теперь подставим найденные значения ( x ) в уравнение параболы, чтобы найти соответствующие значения ( y ).

Для ( x = 2 ):

[
y^2 = 2 \cdot 2 = 4 \implies y = 2 \quad \text{или} \quad y = -2
]

Таким образом, первая точка пересечения: ( (2, 2) ) и ( (2, -2) ).

Для ( x = -4 ):

[
y^2 = 2 \cdot (-4) = -8 \quad \text{(нет действительных решений)}
]

Следовательно, точки пересечения — это ( (2, 2) ) и ( (2, -2) ).

Теперь найдем углы между касательными к кривым в этих точках. Мы найдем производные для каждого из уравнений в заданных точках.

Нахождение производной для прямой ( y^2 = 2x ):

Для нахождения производной используем неявное дифференцирование:

[
2y \frac{dy}{dx} = 2 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{1}{y}
]

В точке ( (2, 2) ):

[
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2}
]

И в точке ( (2, -2) ):

[
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}
]

Нахождение производной для круга ( x^2 + y^2 = 8 ):

Так же неявно:

[
2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}
]

В точке ( (2, 2) ):

[
\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{2} = -1
]

В точке ( (2, -2) ):

[
\frac{dy}{dx} = -\frac{2}{-2} = 1
]

Углы между касательными

Касательные в точке ( (2, 2) ):

Для параболы: ( k_1 = \frac{1}{2} )Для круга: ( k_2 = -1 )

Тангенс угла между двумя касательными ( k_1 ) и ( k_2 ):

[
\tan \theta = \left| \frac{k_1 - k_2}{1 + k_1 k_2} \right|
]

Подставляем значения:

[
\tan \theta = \left| \frac{\frac{1}{2} - (-1)}{1 + \frac{1}{2} \cdot (-1)} \right| = \left| \frac{\frac{1}{2} + 1}{1 - \frac{1}{2}} \right| = \left| \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} \right| = 3
]

Для нахождения угла ( \theta ):

[
\theta = \arctan(3)
]

Это угол между касательными в точке ( (2, 2) ). Аналогично можно вычислить угол для точки ( (2, -2) ) и получить тот же угол, так как производные разного знака.

Таким образом, исходные углы между касательными в точках пересечения двух кривых равны ( \theta = \arctan(3) ).