Для нахождения объема конуса можно использовать следующую формулу:
[V = \frac{1}{3} S_b h]
где (V) — объем конуса, (S_b) — площадь основания конуса, (h) — высота конуса.
Площадь основания конуса (S_b) равна (11\pi \text{ см}^2).
Площадь полной поверхности (S_p) конуса вычисляется по формуле:
[S_p = S_b + S_k]
где (S_k) — площадь боковой поверхности конуса.
Площадь боковой поверхности конуса можно выразить через радиус основания (r) и образующую (l) (длинна образующей):
[S_k = \pi r l]
Таким образом, мы имеем:
[S_p = S_b + \pi r l]
Подставим известные значения:
[26\pi = 11\pi + \pi r l]
Упростим уравнение:
[26\pi - 11\pi = \pi r l][15\pi = \pi r l]
Разделим обе стороны на (\pi):
[15 = r l]
Теперь нам нужно найти (h). Мы знаем, что для конуса выполняется отношение между (r), (h) и (l):
[l = \sqrt{r^2 + h^2}]
Подставим (l) в уже полученное уравнение:
[15 = r \sqrt{r^2 + h^2}]
Теперь, чтобы решить эту систему уравнений, воспользуемся площадью основания конуса:
[S_b = \pi r^2 = 11\pi \Rightarrow r^2 = 11 \Rightarrow r = \sqrt{11}]
Теперь подставим (r) в уравнение (15 = r \sqrt{r^2 + h^2}):
[15 = \sqrt{11} \sqrt{11 + h^2}]
Возведем обе стороны уравнения в квадрат:
[225 = 11(11 + h^2)][225 = 121 + 11h^2][225 - 121 = 11h^2][104 = 11h^2][h^2 = \frac{104}{11}][h = \sqrt{\frac{104}{11}} = \frac{2\sqrt{26}}{\sqrt{11}}]
Теперь найдем объем (V):
[V = \frac{1}{3} S_b h = \frac{1}{3} \cdot 11\pi \cdot \frac{2\sqrt{26}}{\sqrt{11}}]
Упростим:
[V = \frac{22\pi \sqrt{26}}{3\sqrt{11}} = \frac{22\pi \sqrt{26}}{3\sqrt{11}} \text{ см}^3]
Таким образом, объем конуса равен (\frac{22\pi \sqrt{26}}{3\sqrt{11}} \text{ см}^3).
Для нахождения объема конуса можно использовать следующую формулу:
[
V = \frac{1}{3} S_b h
]
где (V) — объем конуса, (S_b) — площадь основания конуса, (h) — высота конуса.
Площадь основания конуса (S_b) равна (11\pi \text{ см}^2).
Площадь полной поверхности (S_p) конуса вычисляется по формуле:
[
S_p = S_b + S_k
]
где (S_k) — площадь боковой поверхности конуса.
Площадь боковой поверхности конуса можно выразить через радиус основания (r) и образующую (l) (длинна образующей):
[
S_k = \pi r l
]
Таким образом, мы имеем:
[
S_p = S_b + \pi r l
]
Подставим известные значения:
[
26\pi = 11\pi + \pi r l
]
Упростим уравнение:
[
26\pi - 11\pi = \pi r l
]
[
15\pi = \pi r l
]
Разделим обе стороны на (\pi):
[
15 = r l
]
Теперь нам нужно найти (h). Мы знаем, что для конуса выполняется отношение между (r), (h) и (l):
[
l = \sqrt{r^2 + h^2}
]
Подставим (l) в уже полученное уравнение:
[
15 = r \sqrt{r^2 + h^2}
]
Теперь, чтобы решить эту систему уравнений, воспользуемся площадью основания конуса:
[
S_b = \pi r^2 = 11\pi \Rightarrow r^2 = 11 \Rightarrow r = \sqrt{11}
]
Теперь подставим (r) в уравнение (15 = r \sqrt{r^2 + h^2}):
[
15 = \sqrt{11} \sqrt{11 + h^2}
]
Возведем обе стороны уравнения в квадрат:
[
225 = 11(11 + h^2)
]
[
225 = 121 + 11h^2
]
[
225 - 121 = 11h^2
]
[
104 = 11h^2
]
[
h^2 = \frac{104}{11}
]
[
h = \sqrt{\frac{104}{11}} = \frac{2\sqrt{26}}{\sqrt{11}}
]
Теперь найдем объем (V):
[
V = \frac{1}{3} S_b h = \frac{1}{3} \cdot 11\pi \cdot \frac{2\sqrt{26}}{\sqrt{11}}
]
Упростим:
[
V = \frac{22\pi \sqrt{26}}{3\sqrt{11}} = \frac{22\pi \sqrt{26}}{3\sqrt{11}} \text{ см}^3
]
Таким образом, объем конуса равен (\frac{22\pi \sqrt{26}}{3\sqrt{11}} \text{ см}^3).