Площадь основания конуса 11 π см² , площадь его полной поверхности 26 π см² найдите объем конуса.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения объема конуса можно использовать следующую формулу:

[
V = \frac{1}{3} S_b h
]

где (V) — объем конуса, (S_b) — площадь основания конуса, (h) — высота конуса.

Площадь основания конуса (S_b) равна (11\pi \text{ см}^2).

Площадь полной поверхности (S_p) конуса вычисляется по формуле:

[
S_p = S_b + S_k
]

где (S_k) — площадь боковой поверхности конуса.

Площадь боковой поверхности конуса можно выразить через радиус основания (r) и образующую (l) (длинна образующей):

[
S_k = \pi r l
]

Таким образом, мы имеем:

[
S_p = S_b + \pi r l
]

Подставим известные значения:

[
26\pi = 11\pi + \pi r l
]

Упростим уравнение:

[
26\pi - 11\pi = \pi r l
]
[
15\pi = \pi r l
]

Разделим обе стороны на (\pi):

[
15 = r l
]

Теперь нам нужно найти (h). Мы знаем, что для конуса выполняется отношение между (r), (h) и (l):

[
l = \sqrt{r^2 + h^2}
]

Подставим (l) в уже полученное уравнение:

[
15 = r \sqrt{r^2 + h^2}
]

Теперь, чтобы решить эту систему уравнений, воспользуемся площадью основания конуса:

[
S_b = \pi r^2 = 11\pi \Rightarrow r^2 = 11 \Rightarrow r = \sqrt{11}
]

Теперь подставим (r) в уравнение (15 = r \sqrt{r^2 + h^2}):

[
15 = \sqrt{11} \sqrt{11 + h^2}
]

Возведем обе стороны уравнения в квадрат:

[
225 = 11(11 + h^2)
]
[
225 = 121 + 11h^2
]
[
225 - 121 = 11h^2
]
[
104 = 11h^2
]
[
h^2 = \frac{104}{11}
]
[
h = \sqrt{\frac{104}{11}} = \frac{2\sqrt{26}}{\sqrt{11}}
]

Теперь найдем объем (V):

[
V = \frac{1}{3} S_b h = \frac{1}{3} \cdot 11\pi \cdot \frac{2\sqrt{26}}{\sqrt{11}}
]

Упростим:

[
V = \frac{22\pi \sqrt{26}}{3\sqrt{11}} = \frac{22\pi \sqrt{26}}{3\sqrt{11}} \text{ см}^3
]

Таким образом, объем конуса равен (\frac{22\pi \sqrt{26}}{3\sqrt{11}} \text{ см}^3).