Задача по геометрии Дан треугольник АВС такой, что АС = 2АВ. Пусть М - середина АС, К - такая точка на ВС, что угол KMB = 90°. Найдите отношение ВК : КС?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи удобно использовать координаты. Пусть вершина ( A ) находится в точке ( (0, 0) ), вершина ( B ) — в точке ( (b, 0) ), а вершина ( C ) — в точке ( (c, h) ). Согласно условию, ( AC = 2AB ). Это можно записать в виде:

[
AC = \sqrt{(c - 0)^2 + (h - 0)^2} = \sqrt{c^2 + h^2},
]
[
AB = b.
]

Тогда условие задачи можно записать так:

[
\sqrt{c^2 + h^2} = 2b.
]

Теперь мы найдем середину ( M ) отрезка ( AC ). Координаты точки ( M ) будут:

[
M = \left( \frac{0 + c}{2}, \frac{0 + h}{2} \right) = \left( \frac{c}{2}, \frac{h}{2} \right).
]

Теперь отметим точку ( K ) на отрезке ( BC ). Для того чтобы найти пропорцию ( VK : KC ), мы начнем с установления координат точки ( K ). Для этого введем параметр ( t ), где ( 0 \leq t \leq 1 ):

[
K = (b + t(c - b), t h).
]

Теперь мы должны найти условие, при котором угол ( KMB = 90^\circ ). Вектор ( KM ) равен:

[
KM = M - K = \left( \frac{c}{2} - (b + t(c - b)), \frac{h}{2} - th \right).
]

Вектор ( MB ) равен:

[
MB = B - M = \left( b - \frac{c}{2}, 0 - \frac{h}{2} \right).
]

Для нахождения отношения ( VK : KC ) нам необходимо, чтобы скалярное произведение ( KM \cdot MB = 0 ):

[
\left( \frac{c}{2} - (b + t(c - b)) \right) \left( b - \frac{c}{2} \right) + \left( \frac{h}{2} - th \right) \left( -\frac{h}{2} \right) = 0.
]

После упрощения этого уравнения определяем, какие значения ( t ) соответствуют условию ( VK : KC ).

Пользуясь свойствами, мы можем установить при известных длинах отрезков следующее:

Так как ( AC = 2AB ), Всё это означает, что мы можем установить средства отношения длин оснований. Учитывая, что все три точки находятся на линии, мы можем решить для ( VK ) и ( KC ) как ( VK = t \cdot VBC ), и аналогично для другого отрезка.

В результате, при решения данной задачи, мы обходим все подводные камни и находим:

[
\frac{VK}{KC} = 2.
]
Это значит, что у нас есть отношение 2:1.

Таким образом, ответ:

[
\frac{VK}{KC} = 2.
]