Два предновогодних точных квадрата? а) В десятичной записи точного квадрата ровно 2024 цифры. Какое наименьшее количество из этих цифр могут быть чётными?

б) Аналогичная задача для точного квадрата, в котором ровно 2025 цифр.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы решить задачу, сначала определим, какие числа имеют точные квадраты с заданным количеством цифр.

Число цифр у квадрата: Если ( n ) — это целое число, то количество цифр в ( n^2 ) рассчитывается по формуле:
[
\text{Количество цифр} = \lfloor \log{10} (n^2) \rfloor + 1 = \lfloor 2 \log{10} n \rfloor + 1
]
Таким образом, чтобы квадрат имел 2024 цифры, должно выполниться:
[
2023 \leq 2 \log{10} n < 2024
]
Это равносильно
[
1011.5 \leq \log{10} n < 1012
]
Отсюда следует, что:
[
10^{1011.5} \leq n < 10^{1012}
]

Затем, для 2025 цифр:
[
2024 \leq 2 \log{10} n < 2025
]
Это равносильно:
[
1012 \leq \log{10} n < 1012.5
]
Таким образом:
[
10^{1012} \leq n < 10^{1012.5}
]

Теперь мы можем находить минимальное количество четных цифр в этих квадратах.

Наименьшее количество четных цифр в десятичной записи точного квадрата можно получить, если максимально использовать нечетные цифры. Нечетные цифры в системе счисления 10: 1, 3, 5, 7, 9 (всего 5 нечётных цифр).

Для точного квадрата, состоящего из 2024 цифр, можно предположить, что мы можем использовать 2023 нечётные цифры и одну четную цифру для поддержания диапазона. Так, максимальное количество нечётных цифр может достигать 2023.

Таким образом, ответ на пункт а):
[
1 \quad \text{(минимальное количество четных цифр)}
]

Аналогично, теперь мы ищем точный квадрат с 2025 цифрами. Мы можем задействовать 2024 нечётные цифры и одну четную, следуя той же логике.

Таким образом, ответ на пункт б):
[
1 \quad \text{(минимальное количество четных цифр)}
]

В обоих случаях минимальное количество четных цифр равно 1.