Найди число состоящие из одних 1(например 1111) которое делится на 999 без остатка

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для поиска числа, состоящего из одних единиц (например, 1111 или 111111), которое делится на 999, можно воспользоваться простым методом.

Число, состоящее из ( n ) единиц, можно представить как:

[
\frac{10^n - 1}{9}
]

То есть, мы ищем минимальное ( n ), для которого:

[
\frac{10^n - 1}{9} \mod 999 = 0
]

Это означает, что:

[
10^n - 1 \equiv 0 \mod 8991
]

где ( 8991 = 999 \times 9 ).

Теперь мы ищем наименьшее ( n ), такое что ( 10^n \equiv 1 \mod 8991 ).

Зная, что порядок числа 10 по модулю 8991 является делителем ( \phi(8991) ), можно воспользоваться вычислением ( \phi ):

[
8991 = 999 \times 9 = 3^3 \times 37
]
И соответственно:

[
\phi(8991) = (999 \times \frac{2}{3}) \times (9 \times \frac{8}{9}) = 666 \times 8 = 5328
]

Теперь мы вычисляем ( 10^n \mod 8991 ) для всех делителей порядка (например 1, 2, 3, ..., 5328) пока не найдём минимальное ( n ), для которого ( 10^n \equiv 1 \mod 8991 ).

Однако проще всего будет выполнить проверку начиная от ( n = 1 ).

В результате вычислений найдем, что минимум ( n ), на которое ( 10^n \equiv 1 \mod 8991 ), равен 27.

При этом число, состоящее из 27 единиц можно записать как

[
\frac{10^{27} - 1}{9}
]

Такое число делится на 999. Его можно записать как ( 111111111111111111111111111 ).