Задача по геометрии В треугольнике АВС выполняется: AB = 10 см, медиана CM = 5 см, угол CMA = 120°. Найдите величину угла CAB.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

В данной задаче мы имеем треугольник ( ABC ), где ( AB = 10 ) см, медиана ( CM = 5 ) см, и угол ( CMA = 120^\circ ). Мы должны найти величину угла ( CAB ).

Для решения задачи удобно воспользоваться теорией о медианах и некоторыми тригонометрическими соотношениями. Мы можем рассмотреть треугольник ( ACM ), в котором известны две стороны и угол между ними.

Обозначим:

Воспользуемся теоремой о медианах: медиана ( CM ) делит сторону ( AB ) пополам. Поэтому ( AM = MB = \frac{10}{2} = 5 ) см.

Используем закон косинусов в треугольнике ( ACM ):
[
AC^2 = AM^2 + CM^2 - 2 \cdot AM \cdot CM \cdot \cos(CMA).
]
Подставим известные значения:
[
b^2 = 5^2 + 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \cos(120^\circ).
]
Поскольку ( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} ), подставляем это значение:
[
b^2 = 25 + 25 + 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2}.
]
Упростим:
[
b^2 = 25 + 25 + 25 = 75.
]
Значит:
[
b = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}.
]

Теперь используем закон косинусов в треугольнике ( ABC ):
[
AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos(CAB).
]
Подставляем известные значения:
[
10^2 = (5\sqrt{3})^2 + a^2 - 2 \cdot 5\sqrt{3} \cdot a \cdot \cos(CAB).
]
Или:
[
100 = 75 + a^2 - 10\sqrt{3} \cdot a \cdot \cos(CAB).
]
Таким образом, у нас:
[
25 = a^2 - 10\sqrt{3} \cdot a \cdot \cos(CAB).
]

Теперь нам нужна ещё одна зависимость для ( BC ).
Мы знаем, что ( CM = 5 ) см является медианой, и можем получить еще одну уравнение для ( a ) через ( b ).

Для нахождения угла ( CAB ) после упрощения, понадобится провести дополнительные вычисления, например, рассмотреть аналогичный треугольник с применением синусов для последующей работы с углом.

В любом случае, для нахождения угла можно использовать тригонометрические свойства, или же получить через вычисление ( \cos ) угла, однако, это потребует в последствии дополнительной информации о треугольнике.

Основное решение может быть достигнуто после анализа непосредственно в соотношениях законов синусов и косинусов, основным методом будет отработка уравнений. Но с данным заданием, в итоге значение ( CAB = 30^\circ ), но проверка требует дополнительного анализа на примерах замеров и синусов.