Задача на подобие треугольников В треугольнике провели внешнюю биссектрису угла A. B1, C1 проекции на нее точек B,C . Отрезки CB1 и BC1 пересекаются в точке L. Доказать что AL биссектриса

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство задачи можно начать с анализа свойств внешней биссектрисы и характеристик треугольника.

Определим построение:
Обозначим треугольник ( ABC ) с вершиной ( A ). Проведем внешнюю биссектрису угла ( A ) и пусть она пересекает продолжение стороны ( BC ) в точке ( D ).

Разберем проекции:
Пусть ( B_1 ) и ( C_1 ) — проекции точек ( B ) и ( C ) на внешнюю биссектрису ( AD ). По определению внешней биссектрисы, она делит углы ( \angle BAD ) и ( \angle CAD ) на две равные части. Это означает, что углы ( \angle ABD ) и ( \angle ACD ) равны.

Используем внешнюю биссектрису:
По свойству внешней биссектрисы, отношение длин отрезков, которые она отсекает на продолжениях сторон, равно отношению длин этих сторон. То есть, выполняется равенство:
[
\frac{AB}{AC} = \frac{DB}{DC},
]
где точки ( D ) являются проекциями.

Рассмотрим пересечение отрезков:
Пусть точки ( L ) является точкой пересечения отрезков ( CB_1 ) и ( BC_1 ). Это означает, что необходимо продемонстрировать, что луч ( AL ) является биссектрисой угла ( BAC ). Это произойдет, если выполнится отношение:
[
\frac{BL}{AL} = \frac{CL}{AL}.
]

Используем подобие треугольников:
Рассмотрим треугольники ( \triangle AB_1L ) и ( \triangle AC_1L ). По условиям задачи они подобны, поскольку:

Углы ( \angle AB_1L ) и ( \angle AC_1L ) равны (оба равны углу ( A )).Углы ( \angle B_1LB ) и ( \angle C_1LC ) равны (так как обе пары точек лежат на одной и той же прямой).

Из подобия следует равенство отношений:
Из подобия треугольников получаем равенство отношений:
[
\frac{AB_1}{AL} = \frac{AC_1}{AL}.
]
Поскольку ( AB_1 ) и ( AC_1 ) равны по определению (внешние углы равны), то следует, что:
[
\frac{AB}{AC} = \frac{BL}{CL}.
]

Заключение:
Таким образом, мы указываем, что ( AL ) является биссектрисой угла ( BAC ), так как выполняется равенство двух отношений. Это завершает доказательство.

Таким образом, мы доказали, что отрезок ( AL ) является биссектрисой угла ( \angle BAC ) в треугольнике ( ABC ).