В четырëхугольнике все четыре стороны равны между собой. Докажите, что его диагонали перпендикулярны.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем, что диагонали четырёхугольника с равными сторонами перпендикулярны.

Условие:

Пусть четырёхугольник ABCDABCDABCD имеет равные стороны:

AB=BC=CD=DA.AB = BC = CD = DA.AB=BC=CD=DA.

Необходимо доказать, что диагонали ACACAC и BDBDBD перпендикулярны, т.е. AC⊥BDAC \perp BDAC⊥BD.

Доказательство:

1. Четырёхугольник с равными сторонами — ромб:

Четырёхугольник с равными сторонами называется ромбом. В ромбе все стороны равны, но углы могут быть произвольными. Свойство ромба, которое мы используем: диагонали ромба пересекаются под прямым углом.

2. Свойства диагоналей ромба:

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом.

Диагонали делят друг друга пополам.

3. Формальное доказательство перпендикулярности диагоналей:

Рассмотрим диагонали ACACAC и BDBDBD ромба. Пусть они пересекаются в точке OOO.

Так как диагонали делят друг друга пополам, точки пересечения диагоналей образуют четыре равных прямоугольных треугольника.

Теперь проверим перпендикулярность:

Диагонали ACACAC и BDBDBD делят ромб на 4 треугольника.

В каждом из треугольников выполняется теорема Пифагора, что возможно только если угол между диагоналями равен 90∘90^\circ90∘.

Вывод:

В четырёхугольнике с равными сторонами (ромбе) диагонали всегда перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Доказательство того, что диагонали равнополного четырехугольника (ромба) перпендикулярны, можно провести следующим образом:

Пусть (ABCD) — ромб, где все стороны равны: (AB = BC = CD = DA = a). Обозначим диагонали (AC) и (BD).

Поскольку (ABCD) — ромб, то диагонали пересекаются в точке (O) и делят друг друга пополам. Обозначим (O) — точку пересечения диагоналей. Тогда имеем:
[
AO = OC, \quad BO = OD.
]
Обозначим:
[
AO = OC = m, \quad BO = OD = n.
]

Рассмотрим треугольники (AOB) и (COD). В этих треугольниках:

По теореме Пифагора для треугольника (AOB):
[
AB^2 = AO^2 + BO^2.
]
Вставляем известные значения:
[
a^2 = m^2 + n^2. \tag{1}
]

Аналогично для треугольника (COD):
[
CD^2 = OC^2 + OD^2.
]
Подставляем:
[
a^2 = m^2 + n^2. \tag{2}
]

Изравнения (1) и (2) мы видим, что обе равны (a^2), что подтверждает, что у нас правильное обозначение для диагоналей (AC) и (BD).

Теперь рассмотрим треугольники (AOB) и (COD) снова. Мы видим, что (AO) и (OC) равны (по определению), также (BO) и (OD) равны. Это означает, что радиус каждой диагонали образует два правых треугольника, которые по своей природе имеют равные стороны.

Мы можем также использовать свойства ромба, чтобы утверждать, что углы (AOB) и (COD) являются углами между диагоналями и по своей конструкции равны.

Поскольку сумма углов в каждом из треугольников равна (180^\circ), и если они равны, что подразумевает, что диагонали перпендикулярны, или угол (AOB = 90^\circ) и угол (COD = 90^\circ).

Таким образом, мы пришли к выводу, что диагонали ромба (AC) и (BD) действительно перпендикулярны, что и требовалось доказать.