В прямоугольном треугольнике биссектриса большего угла пересекает гипотенузу под углом 57 градусов . Найдите острые углы

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим острые углы прямоугольного треугольника как ( A ) и ( B ), причем угол ( C ) равен ( 90^\circ ). Тогда сумма острых углов равна ( 90^\circ ):

[
A + B = 90^\circ
]

Пусть ( A ) — больший из острых углов, тогда ( A > B ).

Биссектрису угла ( A ) пересекает гипотенуза под углом ( 57^\circ ). Значит, угол между биссектрисой и одним из катетов, который образует угол ( A ), равен ( 57^\circ ). Угол ( A ) делится биссектрисой на два равных угла:

[
\text{угол между биссектрисой и катетом} = \frac{A}{2}
]

Таким образом, у нас есть равенство:

[
\frac{A}{2} = 57^\circ \implies A = 114^\circ
]

Однако, поскольку ( A ) острый угол, это противоречит определению. Следовательно, угол ( A ) — это угол, образованный биссектрисой с другим катетом:

[
\frac{A}{2} + B = 57^\circ
]

При этом:

[
A + B = 90^\circ \implies B = 90^\circ - A
]

Подставляем ( B ):

[
\frac{A}{2} + (90^\circ - A) = 57^\circ
]

Упрощаем уравнение:

[
\frac{A}{2} - A + 90^\circ = 57^\circ
]

Умножаем всё на 2, чтобы избавиться от дробей:

[
A - 2A + 180^\circ = 114^\circ
]

Это приводит нас к:

[
-A + 180^\circ = 114^\circ
]

[
-A = 114^\circ - 180^\circ
]

[
-A = -66^\circ \implies A = 66^\circ
]

Теперь подставляем значение угла ( A ) для нахождения угла ( B ):

[
B = 90^\circ - 66^\circ = 24^\circ
]

Таким образом, острые углы прямоугольного треугольника равны:

[
A = 66^\circ, \quad B = 24^\circ
]