Играю в студента, анализирую определение вероятностного пр-ва, разъясните парочку простых фундаментальных моментов? Нейросети идут в член, им не доверяю.
Вопрос 1. Для всякой ли сигма-алгебры событий можно ввести топологию (на множестве элементарных исходов) так, чтобы относительно этой топологии сигма-алгебра была борелевской?
Вопрос 2. Если для сигма-алгебры можно ввести указанным выше образом топологию, всегда ли однозначно эта топология определена?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Отвечая на ваши вопросы, начну с основ, а затем перейду к конкретным пунктам, которые вас интересуют.

Вопрос 1: Для всякой ли сигма-алгебры событий можно ввести топологию (на множестве элементарных исходов) так, чтобы относительно этой топологии сигма-алгебра была борелевской?

Не для всякой сигма-алгебры можно ввести топологию, при которой эта сигма-алгебра станет борелевской. Борелевская сигма-алгебра на топологическом пространстве формируется из открытых (или замкнутых) множеств этого пространства. Для того чтобы сигма-алгебра стала борелевской, нужно, чтобы её элементы могли быть представлены в терминах открытых множеств, что возможно лишь для определенного класса сигма-алгебр и соответствующих топологий.

Примером может служить сигма-алгебра всех возможных подмножеств конечного множества. Для конечного множества можно ввести дискретную топологию, которая позволит всякому подмножеству быть открытым. Однако, если у вас есть сигма-алгебра, построенная на гораздо более сложной структуре или не обладающая "плюсовыми" свойствами (как в случае с борелевской сигма-алгеброй), то такая топология может быть просто несуществующей.

Вопрос 2: Если для сигма-алгебры можно ввести указанным выше образом топологию, всегда ли однозначно эта топология определена?

Нет, топология, соответствующая данной сигма-алгебре, не обязательно будет однозначной. На самом деле, обычно для одной и той же сигма-алгебры может быть множество различных топологий. Например, для разных топологий можно получить одну и ту же борелевскую сигма-алгебру и, соответственно, иметь разные открытые множества.

Как пример, можно рассмотреть любое множество с двумя различными топологиями, которые порождают одну и ту же борелевскую сигма-алгебру. Классическая ситуация — это так называемая "дискритизация" и "стандартная" топология на вещественной прямой: они приводят к одной и той же борелевской сигма-алгебре (поскольку оба класса открытых множеств в конечном пределе порождают множество Borel).

В общем, для одной и той же сигма-алгебры, если существует хотя бы одна топология, которая делает её борелевской, могут существовать и другие топологии с аналогичными свойствами.