Для решения задачи в треугольнике ABC, где ( AB = 7 ), (\angle A = 45^\circ) и (\angle C = 30^\circ), воспользуемся теорией синусов. Сначала найдем третью углу (\angle B):

[
\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 30^\circ = 105^\circ
]

Теперь мы можем использовать закон синусов, который гласит:

[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}
]

где ( a = BC ), ( b = AC ), ( c = AB ).

Поскольку мы знаем длину ( AB ) и углы ( A ) и ( C ), можем найти размеры остальных сторон.

Используем закон синусов для нахождения стороны ( AC ):

[
\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin A}
]

Подставим известные значения:

[
\frac{AC}{\sin(105^\circ)} = \frac{7}{\sin(45^\circ)}
]

Решим это уравнение для ( AC ):

[
AC = 7 \cdot \frac{\sin(105^\circ)}{\sin(45^\circ)}
]

Мы можем выбрать значения синусов:

(\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}) и (\sin(105^\circ) = \sin(180^\circ - 75^\circ) = \sin(75^\circ) = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) + \cos(45^\circ)\sin(30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4})

Теперь подставим значения:

[
AC = 7 \cdot \frac{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 7 \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{7 \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8}
]

Теперь можем также найти сторону ( BC ):

[
\frac{BC}{\sin C} = \frac{AB}{\sin A}
]

отсюда:

[
BC = AB \cdot \frac{\sin C}{\sin A} = 7 \cdot \frac{\sin(30^\circ)}{\sin(45^\circ)} = 7 \cdot \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 7 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{2}
]

Итак, стороны треугольника ( AC ) и ( BC ) определены как:

[
AC = \frac{7 \sqrt{2} (\sqrt{6 + 2})}{8}, \quad BC = \frac{7\sqrt{2}}{2}
]

Если вам нужно посчитать их численные значения, то это можно сделать с использованием численных значений корней.