Решите систему уравнений графическим способом:2х+3у=7;4х+5у=13

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для графического решения системы уравнений необходимо сначала привести каждое уравнение к виду (y = mx + b), где (m) — угловой коэффициент, а (b) — свободный член.

Первое уравнение: [
2x + 3y = 7
]
Выразим (y):
[
3y = 7 - 2x \implies y = -\frac{2}{3}x + \frac{7}{3}
]
Это уравнение соответствует прямой с угловым коэффициентом (-\frac{2}{3}) и пересечением с осью (y) в точке (\left(0, \frac{7}{3}\right)).

Второе уравнение: [
4x + 5y = 13
]
Выразим (y):
[
5y = 13 - 4x \implies y = -\frac{4}{5}x + \frac{13}{5}
]
Это уравнение соответствует прямой с угловым коэффициентом (-\frac{4}{5}) и пересечением с осью (y) в точке (\left(0, \frac{13}{5}\right)).

Теперь мы можем начертить графики обеих прямых на одной системе координат.

Для первой прямой:

Пересечение с осью (y): (\frac{7}{3} \approx 2.33)Другую точку можно найти, подставив (x = 3):
[
y = -\frac{2}{3} \cdot 3 + \frac{7}{3} = -2 + \frac{7}{3} = -\frac{6}{3} + \frac{7}{3} = \frac{1}{3}
]Точка: ((3, \frac{1}{3}))

Для второй прямой:

Пересечение с осью (y): (\frac{13}{5} = 2.6)Другую точку можно найти, подставив (x = 2):
[
y = -\frac{4}{5} \cdot 2 + \frac{13}{5} = -\frac{8}{5} + \frac{13}{5} = \frac{5}{5} = 1
]Точка: ((2, 1))Построение графиков:

На координатной плоскости отметьте точки:

Для первой прямой: ((0, \frac{7}{3})) и ((3, \frac{1}{3})).Для второй прямой: ((0, \frac{13}{5})) и ((2, 1)).

Проведите прямые через эти точки.

Пересечение:

Точки пересечения прямых на графике дадут решение системы уравнений. По расчетам и построению, вам нужно определить местоположение точки пересечения.

Для более точного нахождения точки пересечения, можно решить систему уравнений алгебраически.

Умножим первое уравнение на 2:
[
4x + 6y = 14
]Вычтем второе уравнение из полученного:
[
(4x + 6y) - (4x + 5y) = 14 - 13 \implies y = 1
]Подставим (y = 1) в одно из уравнений:
[
2x + 3(1) = 7 \implies 2x + 3 = 7 \implies 2x = 4 \implies x = 2
]

Следовательно, точка пересечения: ( (2, 1) ).

Это и есть решение системы уравнений:
((x, y) = (2, 1)).