1. b {-1; 0}. Запишите разложение вектора b по координатным векторам
2. m{-2; 4}, p{-1; 5}, a = 0,5m - 2p. Найдите координаты вектора a
3. Даны точки: A (-2; 6), B (5; -4). Найдите координаты вектора AB
4. Даны точки: A (-2; 6), B (5; -4). Найдите координаты точки M - середины отрезка AB
5. Найдите длину вектора AB{8; -6}
6. Даны точки: A (-6; 3), B (2; -3). Найдите расстояние AB
7. Напишите уравнение окружности с центром в точке C (-7; 5) и радиусом 9
8. Укажите координаты центра окружности и радиус по её уравнению: x² + (y + 2)² = 9
9. Напишите уравнение прямой AB, если A(1; 3) и B(-2; 0)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Давайте решим все задачи по порядку.

Вектор ( b = \begin{pmatrix} -1 \ 0 \end{pmatrix} ) может быть разложен по координатным векторам ( \mathbf{e_1} = \begin{pmatrix} 1 \ 0 \end{pmatrix} ) и ( \mathbf{e_2} = \begin{pmatrix} 0 \ 1 \end{pmatrix} ):
[
b = -1 \cdot \mathbf{e_1} + 0 \cdot \mathbf{e_2}.
]

Вектор ( m = \begin{pmatrix} -2 \ 4 \end{pmatrix} ), ( p = \begin{pmatrix} -1 \ 5 \end{pmatrix} ):
[
a = 0.5m - 2p = 0.5 \begin{pmatrix} -2 \ 4 \end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix} -1 \ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 \ -10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \ -8 \end{pmatrix}.
]
Координаты вектора ( a ): ( \begin{pmatrix} 1 \ -8 \end{pmatrix} ).

Векторы от точки ( A ) до точки ( B ) можно найти как:
[
\text{AB} = B - A = \begin{pmatrix} 5 \ -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 \ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 + 2 \ -4 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \ -10 \end{pmatrix}.
]

Координаты середины отрезка ( AB ) находятся по формуле:
[
M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2} \right) = \left( \frac{-2 + 5}{2}, \frac{6 - 4}{2} \right) = \left( \frac{3}{2}, 1 \right).
]

Длина вектора ( AB ) можно найти по формуле:
[
||AB|| = \sqrt{(8)^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10.
]

Расстояние между точками ( A ) и ( B ) вычисляется так же, как и длина вектора:
[
d = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (-3 - 3)^2} = \sqrt{(2 + 6)^2 + (-3 - 3)^2} = \sqrt{8^2 + (-6)^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10.
]

Уравнение окружности с центром в точке ( C(-7; 5) ) и радиусом 9 может быть записано как:
[
(x + 7)^2 + (y - 5)^2 = 81.
]

Уравнение окружности: ( x^2 + (y + 2)^2 = 9 ).
Центр окружности: ( (-2, -2) ), радиус: ( 3 ).

Уравнение прямой ( AB ) можно найти, используя две точки. Сначала найдем наклон:
[
k = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{0 - 3}{-2 - 1} = \frac{-3}{-3} = 1.
]
Затем используем точку ( A(1; 3) ) для нахождения уравнения:
[
y - 3 = 1(x - 1) \Rightarrow y = x + 2.
]
Уравнение прямой: ( y = x + 2 ).