Для решения уравнения ( x^2 \equiv 44_5 \mod 100_5 ), сначала нужно преобразовать числа из систем счисления с основанием 5 в десятичную систему.

Преобразуем ( 100_5 ) в десятичную систему:
[
100_5 = 1 \cdot 5^2 + 0 \cdot 5^1 + 0 \cdot 5^0 = 25
]

Преобразуем ( 44_5 ) в десятичную систему:
[
44_5 = 4 \cdot 5^1 + 4 \cdot 5^0 = 20 + 4 = 24
]

Таким образом, уравнение ( x^2 \equiv 44_5 \mod 100_5 ) становится ( x^2 \equiv 24 \mod 25 ).

Теперь нужно решить уравнение ( x^2 \equiv 24 \mod 25 ).

Для этого проверим, есть ли такие ( x ), что ( x^2 ) дает в остатке 24 при делении на 25. Мы можем проверить все возможные значения ( x ) от 0 до 24 (так как мы берем по модулю 25).

Посчитаем квадраты чисел от 0 до 24 по модулю 25:

( 0^2 \equiv 0 )( 1^2 \equiv 1 )( 2^2 \equiv 4 )( 3^2 \equiv 9 )( 4^2 \equiv 16 )( 5^2 \equiv 0 )( 6^2 \equiv 11 )( 7^2 \equiv 24 )( 8^2 \equiv 14 )( 9^2 \equiv 6 )( 10^2 \equiv 0 )( 11^2 \equiv 21 )( 12^2 \equiv 18 )( 13^2 \equiv 19 )( 14^2 \equiv 21 )( 15^2 \equiv 0 )( 16^2 \equiv 6 )( 17^2 \equiv 14 )( 18^2 \equiv 24 )( 19^2 \equiv 11 )( 20^2 \equiv 16 )( 21^2 \equiv 9 )( 22^2 \equiv 4 )( 23^2 \equiv 1 )( 24^2 \equiv 0 )

Мы видим, что ( 7^2 \equiv 24 \mod 25 ) и ( 18^2 \equiv 24 \mod 25 ).

Таким образом, решения в десятичной системе:

( x \equiv 7 \mod 25 )( x \equiv 18 \mod 25 )

Теперь нужно вернуть значения к системе счисления с основанием 5:

Для ( x \equiv 7 ):
[
7_{10} = 12_5
]

Для ( x \equiv 18 ):
[
18_{10} = 33_5
]

Итак, решения в системе счисления с основанием 5:

[
x \equiv 12_5 \quad \text{и} \quad x \equiv 33_5
]