Найдите все значения p, при каждом из которых корни уравнений |p| (x + 4) + p (x – 4) = 16 и |x – 4| = 0 совпадают.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Рассмотрим оба уравнения.

Первое уравнение:
[
|p| (x + 4) + p (x - 4) = 16.
]

Распишем его, учитывая два случая для ( p ).

Случай 1: ( p \geq 0 )

Тогда ( |p| = p ):
[
p(x + 4) + p(x - 4) = 16,
]
или
[
p(x + 4 + x - 4) = 16,
]
что упрощается до:
[
p(2x) = 16 \implies x = \frac{16}{2p} = \frac{8}{p}.
]

Случай 2: ( p < 0 )

Тогда ( |p| = -p ):
[
-p(x + 4) + p(x - 4) = 16,
]
или
[
-px - 4p + px - 4p = 16,
]
что дает нам:
[
-8p = 16 \implies p = -2.
]

Теперь рассмотрим второе уравнение:
[
|x - 4| = 0.
]
Это уравнение выполняется только при ( x = 4 ).

Теперь нам нужно найти такие ( p ), которые делают корни первого уравнения равным 4.

Случай 1: Если ( p \geq 0 ):
[
\frac{8}{p} = 4 \implies 8 = 4p \implies p = 2.
]

Случай 2: Если ( p < 0 ):
Здесь мы нашли ( p = -2 ), но второе уравнение не дает корень 4.

Таким образом, единственное значение ( p ), при котором корни обоих уравнений совпадают, это ( p = 2 ).

Ответ: ( p = 2 ).