Чтобы найти ( 1:49 \mod 100 ), сначала нужно перевести деление в умножение. При этом мы будем искать значение ( 49^{-1} \mod 100 ) (обратный элемент к 49 по модулю 100), а затем умножим его на 1.

Для нахождения обратного элемента можно использовать расширенный алгоритм Евклида. Сначала найдем ( \text{gcd}(49, 100) ).

[
100 = 2 \cdot 49 + 2 \
49 = 24 \cdot 2 + 1 \
2 = 2 \cdot 1 + 0
]

Поскольку ( \text{gcd}(49, 100) = 1 ), обратный элемент существует.

Теперь применим обратный алгоритм Евклида:
[
1 = 49 - 24 \cdot 2 \
2 = 100 - 2 \cdot 49
]

Подставляем ( 2 ) во второе уравнение в первое:
[
1 = 49 - 24(100 - 2 \cdot 49) \
1 = 49 - 24 \cdot 100 + 48 \cdot 49 \
1 = 49 \cdot 49 - 24 \cdot 100
]

Таким образом, ( 49 \cdot 49 \equiv 1 \mod 100 ). Значит, обратный элемент к 49 мод 100 равен 49.

Теперь мы можем найти ( 1:49 \mod 100 ):
[
1 \cdot 49 \equiv 49 \mod 100
]

Итак, ( 1:49 \mod 100 ) равно ( 49 ).