Коротко: бесконечно много. Но «сколько» зависит от типа чисел — есть разные степени бесконечности.
Короткая сводка:
Натуральные числа N, целые Z и рациональные Q — счетно бесконечны (их мощность = алеф-ноль, ℵ0). Это значит, что их можно перечислить в последовательность 1,2,3,... (или 0,1,−1,2,−2,...).Действительные числа R — несчетно бесконечны. Их мощность равна континууму c = 2^{ℵ0}. Канторовским диагональным аргументом доказывается, что нельзя перечислить все действительные числа.Комплексные числа C имеют ту же мощность, что и R (мощность континуума), потому что C ≈ R^2 и R^2 имеет ту же мощность, что и R.Существуют и более «большие» бесконечности (например, мощность множества всех подмножеств R, P(R), строго больше c и т.д.).
Дополнение: множество иррациональных чисел тоже несчетно и даже «доминирует» среди действительных — почти все действительные числа иррациональны (в смысле меры и мощности).
Если хотите, могу подробно показать доказательства счетности Q и несчетности R (Канторова диагональ).
Коротко: бесконечно много. Но «сколько» зависит от типа чисел — есть разные степени бесконечности.
Короткая сводка:
Натуральные числа N, целые Z и рациональные Q — счетно бесконечны (их мощность = алеф-ноль, ℵ0). Это значит, что их можно перечислить в последовательность 1,2,3,... (или 0,1,−1,2,−2,...).Действительные числа R — несчетно бесконечны. Их мощность равна континууму c = 2^{ℵ0}. Канторовским диагональным аргументом доказывается, что нельзя перечислить все действительные числа.Комплексные числа C имеют ту же мощность, что и R (мощность континуума), потому что C ≈ R^2 и R^2 имеет ту же мощность, что и R.Существуют и более «большие» бесконечности (например, мощность множества всех подмножеств R, P(R), строго больше c и т.д.).Дополнение: множество иррациональных чисел тоже несчетно и даже «доминирует» среди действительных — почти все действительные числа иррациональны (в смысле меры и мощности).
Если хотите, могу подробно показать доказательства счетности Q и несчетности R (Канторова диагональ).