Короткий ответ: нет «самого большого» трансфинитного числа — для любого ординала (или кардинала) есть большее. Что именно вы подразумеваете под Ω, важно — ниже кратко объясню основные случаи.
Основные моменты
Ординалы. Для любого ординала α существует ординал α+1>α. Множество всех ординалов — это не множество, а собственный класс (On). Если бы существовал наибольший ординал, получилась бы парадокс Бурали‑Форти, поэтому наибольшего ординала не бывает.Если Ω = ω (малое омега, первый бесконечный ординал), то да: ω+1, ω·2, ω^2, ω^ω, ε0, … и далее — очень много ординалов больше ω; вообще большинство ординалов бесконечны и гораздо сложнее.Если Ω = ω1 (первый несчётный ординал), то тоже есть ординалы > ω1 (ω1+1, ω2, … и дальше). ω1 просто первый несчётный, но не «наиболее большой».Если Ω = ω1^CK (Чёрч–Клейна ординал — первый невычислимый ординал), то существуют ординалы, которые не перечислимы вычислимыми процессами; ω1^CK играет роль «первого некомпьютируемого», но тоже не является наибольшим ординалом.Кардиналы. Аналогично: для любой кардинальности κ существует более крупная (например, κ+ или 2^κ). В ZFC нет максимальной кардинальности.
Если хотите, могу:
пояснить конкретно про тот Ω, который вы имеете в виду, илипривести примеры «больших» ординалов и как их строят, илирассказать про парадокс Бурали‑Форти и почему класс всех ординалов не может быть множеством.
Короткий ответ: нет «самого большого» трансфинитного числа — для любого ординала (или кардинала) есть большее. Что именно вы подразумеваете под Ω, важно — ниже кратко объясню основные случаи.
Основные моменты
Ординалы. Для любого ординала α существует ординал α+1>α. Множество всех ординалов — это не множество, а собственный класс (On). Если бы существовал наибольший ординал, получилась бы парадокс Бурали‑Форти, поэтому наибольшего ординала не бывает.Если Ω = ω (малое омега, первый бесконечный ординал), то да: ω+1, ω·2, ω^2, ω^ω, ε0, … и далее — очень много ординалов больше ω; вообще большинство ординалов бесконечны и гораздо сложнее.Если Ω = ω1 (первый несчётный ординал), то тоже есть ординалы > ω1 (ω1+1, ω2, … и дальше). ω1 просто первый несчётный, но не «наиболее большой».Если Ω = ω1^CK (Чёрч–Клейна ординал — первый невычислимый ординал), то существуют ординалы, которые не перечислимы вычислимыми процессами; ω1^CK играет роль «первого некомпьютируемого», но тоже не является наибольшим ординалом.Кардиналы. Аналогично: для любой кардинальности κ существует более крупная (например, κ+ или 2^κ). В ZFC нет максимальной кардинальности.Если хотите, могу:
пояснить конкретно про тот Ω, который вы имеете в виду, илипривести примеры «больших» ординалов и как их строят, илирассказать про парадокс Бурали‑Форти и почему класс всех ординалов не может быть множеством.