Дифференциальное уравнение y'' - 4y' +20y=16xe^2x
при y(0)=1 y'(0)=2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этого дифференциального уравнения сначала найдем его общее решение.

Характеристическое уравнение:
(r^2 - 4r + 20 = 0)

Дискриминант этого уравнения равен:
(\Delta = (-4)^2 - 4120 = 16 - 80 = -64)

Таким образом, уравнение имеет комплексные корни:
(r = \frac{4 +- \sqrt{-64}}{2} = 2 +- 4i)

Общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
(y(x) = e^{2x}(c1cos(4x) + c2sin(4x)) + x^2e^{2x}(Ax + B))

Теперь найдем частное решение уравнения в виде:
(y_p(x) = (Ax^2 + Bx + C)e^{2x}), где A, B, C - неизвестные коэффициенты.

Подставляя (y_p(x)) в исходное дифференциальное уравнение, получим:
(2A - 8(Ax^2 +Bx + C) + 20(Ax^2 + Bx + C) = 16x(x^2+2x+1)e^{2x})

Разрешая это уравнение относительно коэффициентов A, B, C, мы сможем найти партикулярное решение и затем суммировать его с общим решением, чтобы найти полное решение данного уравнения.

Подставив начальные условия y(0) = 1 и y'(0) = 2, можно определить значения констант c1, c2, A, B и C.