Решение коротко:
Применим свойство логарифмов:
$\lg (x+\sqrt{3})+\lg (x-\sqrt{3})=\lg ((x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3}))=\lg (x^2-3)=0.$
Отсюда
$x^2-3=1\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm 2.$
Учтём область определения:
$x+\sqrt{3}>0,x-\sqrt{3}>0\Rightarrow x>\sqrt{3}.$
Из двух корней подходит только $x=2$.
Ответ: $x=2$.