1) Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку А и перпендикулярна прямой АВ если А(-5;0;-1) B(9;5;0
2) Написать уравнение сферы с центром в точке А(4;-2;5), если она проходит через точку В(8;0;7). Радиус окружности равен АВ. Проверить, где находится точка С(0;-4;6
3) Найти расстояние от С(4;7;-1) до плоскости заданной уравнением х-4у=3z+1=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Уравнение плоскости, проходящей через точку A(-5;0;-1) и перпендикулярной прямой AB можно найти, используя уравнение плоскости в общем виде: Ax + By + Cz + D = 0, где вектор нормали к плоскости (A, B, C) перпендикулярен вектору направления прямой AB (9 - (-5), 5 - 0, 0 - (-1)) = (14, 5, 1)
Таким образом, уравнение плоскости будет: 14x + 5y + z + D = 0. Подставляем координаты точки A: 14(-5) + 50 + (-1) + D = 0, откуда D = 71
Ответ: 14x + 5y + z + 71 = 0.

2) Уравнение сферы с центром в точке A(4;-2;5) и радиусом, равным расстоянию между точками A(4;-2;5) и B(8;0;7) можно записать в виде (x - 4)^2 + (y + 2)^2 + (z - 5)^2 = AB^2, где AB - расстояние между точками A и B: AB = √((8 - 4)^2 + (0 + 2)^2 + (7 - 5)^2) = √(16 + 4 + 4) = √24 = 2√6
Таким образом, уравнение сферы будет: (x - 4)^2 + (y + 2)^2 + (z - 5)^2 = 24
Подставляем координаты точки C(0;-4;6) в уравнение сферы: (0 - 4)^2 + (-4 + 2)^2 + (6 - 5)^2 = 16 + 4 + 1 = 21 < 24, следовательно, точка C находится внутри сферы.

3) Расстояние от точки C(4;7;-1) до плоскости, заданной уравнением х - 4у = 3z + 1 = 0, можно найти по формуле: d = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2), где A = 1, B = -4, C = 3, D = 1
Подставляем координаты точки C в уравнение плоскости: 4 - 47 = 3(-1) + 1, 4 - 28 = -3 + 1, -24 = -2
Расстояние от точки C до плоскости: d = |-24| / sqrt(1^2 + (-4)^2 + 3^2) = 24 / sqrt(1 + 16 + 9) = 24 / sqrt(26)
Ответ: Расстояние от точки C до плоскости равно 24 / sqrt(26) (единицы измерения длины).