Постройте график функции y = |x|x + 3|x| - 5x. Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала построим график функции y = |x|x + 3|x| - 5x.

Для этого разберемся с тем, как выглядит функция |x|.

Функция |x| равна x при x ≥ 0 и -x при x < 0.

Таким образом, функция y = |x|x равна x^2 при x ≥ 0 и -x^2 при x < 0.

Функция y = 3|x| равна 3x при x ≥ 0 и -3x при x < 0.

И функция y = -5x всегда равна -5x.

Итак, функция y = |x|x + 3|x| - 5x равна x^2 + 3x - 5x = x^2 - 2x.

Теперь построим график этой функции:

Теперь нам нужно найти значения m, при которых прямая y = m имеет с графиком функции y = x^2 - 2x ровно две общие точки.

Это происходит в тех случаях, когда прямая пересекает график функции и касается его в одной точке.

Для этого найдем производную функции y = x^2 - 2x:

y' = 2x - 2.

Прямая y = m имеет уравнение m = 2x - 2 (уравнение касательной).

Теперь найдем точки пересечения прямой и графика функции:

m = x^2 - 2x

x^2 - 2x - m = 0

D = 4 + 4m

x1,2 = (2 ± sqrt(D)) / 2

x1,2 = 1 ± sqrt(1 + m)

То есть, когда m > 3, уравнение имеет два корня, и прямая пересекает график в двух точках.