sin^2x=1-cos^2x

8(1-cos^2x)+cosx+1=0 cosx=y

8-8*y^2+y+1=0

8*y^2-y-9=0

y1,2=(1±√(1+4*8*9))/2*8

y1=1.125 y2=-1 y1>1

cosx=-1

x=pi±2pi*n

В уравнении 8sin^x + cosx + 1 = 0 сделаем замену:sin^2x  = 1 – cos^2x.

8(1 – co^2x) + cosx + 1 = 0 → 8 – 8cos^2x + cosx + 1 = 0 → 8cos^2x - cosx - 9 = 0.

Делаем подстановку: cosx = t, -1≤ t≤ 1 → 8t2 - 8t – 9 = 0.

t1,2 = (1 ± √(1 ± 288)) / 8 * 2 = (1 ± 17)) / 16.

t1 =  (1 + 17)) / 16 = 18/16, t1 > 1  → корень не удовлетворяет условию;  t2 = (1 - 17)) / 16 = -1.

cosx = -1 → x = π + 2 π k, k €Z.

Ответ: x = π + 2 π k, k €Z.