Основание $5>1$, поэтому ${\log }_5(2x^2-3x-1)>0$ эквивалентно условию $2x^2-3x-1>1$ (и автоматически обеспечивает положительность аргумента).
Решим
$$2x^2-3x-1>1⟹2x^2-3x-2>0.$$ Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=(-3{)}^2-4\cdot 2\cdot (-2)=9+16=25,x=\frac{3\pm 5}{4},$$ получаем корни $x=-\frac{1}{2}$ и $x=2$. Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен, неравенство выполняется при
$$x\in (-\infty ,-\frac{1}{2})\cup (2,\infty ).$$
Ответ: $(-\infty ,-\frac{1}{2})\cup (2,\infty )$.