Переведём смешанные числа: $2\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$, $1\frac{1}{5}=\frac{6}{5}$.
Выражение: $\frac{8}{15}\cdot 2\frac{1}{4}:1\frac{1}{5}=\frac{8}{15}\cdot \frac{9}{4}÷\frac{6}{5}$.
Умножение: $\frac{8}{15}\cdot \frac{9}{4}=\frac{72}{60}=\frac{6}{5}$.
Деление: $\frac{6}{5}÷\frac{6}{5}=1$.
Ответ: $1$.