Коротко: значение 000^000 зависит от контекста. В комбинаторике и алгебре удобно принять 00=10^0=100=1; в анализе (как предел) выражение обычно считают неопределённым (indeterminate), поскольку пределы могут давать разные значения. Пояснения и примеры: 1) Пустое произведение. По общему определению ana^nan — произведение nnn множителей aaa. Для n=0n=0n=0 это «пустое произведение», обычно равное 111. Тогда формула даёт a0=1a^0=1a0=1; при распространении этого правила на a=0a=0a=0 получается 00=10^0=100=1. 2) Комбинаторика. Число функций из множества мощности mmm в множество мощности nnn равно nmn^mnm. Для m=n=0m=n=0m=n=0 есть ровно одна функция (пустая), значит 000^000 логично считать равным 111. 3) Удобство в формулах. Чтобы формулы типа бинома Ньютона и рядов степеней справедливы были и при нулевых степенях, принято 00=10^0=100=1: (x+y)0=1=∑k=00(0k)xky0−k⇒x0y0=1.
(x+y)^0=1=\sum_{k=0}^0 \binom{0}{k}x^k y^{0-k}\quad\Rightarrow\quad x^0y^0=1. (x+y)0=1=k=0∑0(k0)xky0−k⇒x0y0=1. 4) Предельный случай — неопределённость. При подходе аргументов к нулю значение aba^bab может давать разные пределы. Например limx→0+xx=limx→0+exlnx=e0=1,
\lim_{x\to0^+} x^x = \lim_{x\to0^+} e^{x\ln x}=e^0=1, x→0+limxx=x→0+limexlnx=e0=1,
но можно получить и другие значения: положим an=e−n, bn=1/na_n=e^{-n},\; b_n=1/nan=e−n,bn=1/n. Тогда an→0, bn→0a_n\to0,\; b_n\to0an→0,bn→0 и an bn=e−1.
a_n^{\,b_n}=e^{-1}. anbn=e−1.
Поэтому как предел 000^000 является неопределённым. Итог: в дискретных и алгебраических контекстах принято 00=10^0=100=1; в анализе при изучении пределов — рассматривать как неопределённость и анализировать конкретный предел.
Пояснения и примеры:
1) Пустое произведение. По общему определению ana^nan — произведение nnn множителей aaa. Для n=0n=0n=0 это «пустое произведение», обычно равное 111. Тогда формула даёт a0=1a^0=1a0=1; при распространении этого правила на a=0a=0a=0 получается 00=10^0=100=1.
2) Комбинаторика. Число функций из множества мощности mmm в множество мощности nnn равно nmn^mnm. Для m=n=0m=n=0m=n=0 есть ровно одна функция (пустая), значит 000^000 логично считать равным 111.
3) Удобство в формулах. Чтобы формулы типа бинома Ньютона и рядов степеней справедливы были и при нулевых степенях, принято 00=10^0=100=1:
(x+y)0=1=∑k=00(0k)xky0−k⇒x0y0=1. (x+y)^0=1=\sum_{k=0}^0 \binom{0}{k}x^k y^{0-k}\quad\Rightarrow\quad x^0y^0=1.
(x+y)0=1=k=0∑0 (k0 )xky0−k⇒x0y0=1.
4) Предельный случай — неопределённость. При подходе аргументов к нулю значение aba^bab может давать разные пределы. Например
limx→0+xx=limx→0+exlnx=e0=1, \lim_{x\to0^+} x^x = \lim_{x\to0^+} e^{x\ln x}=e^0=1,
x→0+lim xx=x→0+lim exlnx=e0=1, но можно получить и другие значения: положим an=e−n, bn=1/na_n=e^{-n},\; b_n=1/nan =e−n,bn =1/n. Тогда an→0, bn→0a_n\to0,\; b_n\to0an →0,bn →0 и
an bn=e−1. a_n^{\,b_n}=e^{-1}.
anbn =e−1. Поэтому как предел 000^000 является неопределённым.
Итог: в дискретных и алгебраических контекстах принято 00=10^0=100=1; в анализе при изучении пределов — рассматривать как неопределённость и анализировать конкретный предел.